3.1.P1
3.1問題1
補題（3.1.4）を証明するための計算の詳細を補いなさい。
3.1.4補題
\(k \geq 2\) とする。
\(e_i \in \mathbb{C}^k\) を \(i\) 番目の標準基底ベクトルとし、\(x \in \mathbb{C}^k\) とする。このとき次が成り立つ。J_k(0)^{\top} J_k(0) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_{k-1} \end{bmatrix}また、\(p \geq k\) のとき \(J_k(0)^p = 0\) である。
さらに、\(i = 1, 2, \ldots, k-1\) に対して \(J_k(0)e_{i+1} = e_i\) が成り立ち、次が成立する。\left(I_k - J_k(0)^{\top} J_k(0)\right)x = (x^{\top} e_1)e_1
ヒント
\( J_k(0) \) は零固有値に対するジョルダンブロックであり、上三角行列で対角の上に 1 が並ぶ行列である。
転置を取ると 1 は対角の下に移る。
基底ベクトル \( e_i \) への作用を具体的に計算し、それを用いて積や冪を求めればよい。
解答例
\( J_k(0) \) を零固有値に対するジョルダンブロックとする。すなわち
J_k(0) =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}
である。
まず転置は
J_k(0)^{\top} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
となる。
基底ベクトル \( e_i \) に対する作用を計算する。行列の定義より、\( i=1,\dots,k-1 \) に対して
J_k(0)e_{i+1} = e_i,
\quad
J_k(0)e_1 = 0
である。
したがって、\( J_k(0) \) を2回作用させると指数が1ずつ減少するので、\( p \ge k \) ならば任意の基底ベクトルは 0 に写る。よって
J_k(0)^p = 0 \quad (p \ge k)
が従う。
次に \( J_k(0)^{\top} J_k(0) \) を計算する。まず \( J_k(0)e_{i+1} = e_i \) より
J_k(0)^{\top}J_k(0)e_{i+1}
= J_k(0)^{\top}e_i
= e_{i+1}
（\( i=1,\dots,k-1 \)）であり、また \( J_k(0)e_1=0 \) から \( J_k(0)^{\top}J_k(0)e_1=0 \) である。
したがって、\( J_k(0)^{\top}J_k(0) \) は \( e_1 \) を 0 に写し、それ以外の基底ベクトルを保つ。ゆえに
J_k(0)^{\top}J_k(0) =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & I_{k-1}
\end{pmatrix}
となる。
最後に任意の \( x \in \mathbb{C}^k \) を \( x = \sum_{i=1}^k (x^{\top}e_i)e_i \) と展開すると、 \( J_k(0)^{\top}J_k(0)x \) は第2成分以降のみを残す作用である。したがって
(I_k - J_k(0)^{\top}J_k(0))x
= (x^{\top}e_1)e_1
が成り立つ。
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