8.正および非負行列 [行列解析8.1]不等式および一般的な性質
目次8.1.8 命題：行列とベクトルの絶対値に関する基本性質8.1.18 定理：非負行列に対するスペクトル半径の比較8.1.19 系：非負行列におけるスペクトル半径の単調性8.1.20 系：非負行列の部分行列とスペクトル半径に関する性質8....
8.正および非負行列 
8.正および非負行列 [行列解析8.0]注記
参考文献正行列および非負行列の性質に関する豊富な情報と、理論的・応用的な文献への参照については、Berman and Plemmons (1994)、Seneta (1973) を参照せよ。また、Varga (2000) の著書には、非負行...
8.正および非負行列 [行列解析8.0.P3]
8.0.問題3問題 8.0.P3もし、都市間の移住係数からなる \( n \times n \) 行列が既約であるならば、住民の移動の自由についてどのようなことが言えるか。
8.正および非負行列 [行列解析8.0.P2]
8.0.問題2問題 8.0.P2次の行列を考える。A_\varepsilon =\begin{bmatrix}(1 + \varepsilon)^{-1} & (1 + \varepsilon)^{-1} \\\varepsilon^2 (...
8.正および非負行列 [行列解析8.0.P1]
8.0.問題1問題 8.0.P1次の行列を考える。A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1\end{bmatrix}このとき、行列 \( A \) のスペクトル半径が 1 であり、列 \( A, A^2, A^3, ...
8.正および非負行列 [行列解析8.0]問題集
8.0.問題集この節では、スペクトル半径、固有値、そして非負行列の挙動に関するいくつかの基本的な問題を扱う。以下の各問題を通して、行列の反復乗算や極限に関する性質を確認する。問題 8.0.P1次の行列を考える。A = \begin{bmat...
8.正および非負行列 [行列解析8.0]人口移動モデルと行列の漸近挙動
人口移動モデルと行列の漸近挙動\( n \ge 2 \) 個の都市 \( C_1, C_2, \ldots, C_n \) の間で、次のような人口移動が行われると仮定する。毎日午前8時に、各都市 \( j \) の現住人口の一定割合 \( ...
8.正および非負行列 [行列解析8]正および非負行列
8 正および非負行列 (Positive and Nonnegative Matrices)目次8.0 はじめに (Introduction)8.1 不等式および一般的な性質 (Inequalities and generalities)8...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P20]
7.8.問題20問題 7.8.P20問題 7.8.P16、7.8.P17、および 7.8.P18 の結果から、それぞれ不等式 (7.8.20)、(7.8.25)、(7.8.28) を導け。(7.8.20)\det H \le \lvert ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P19]
7.8.問題19問題 7.8.P19（式 (7.8.22) の別証）\( H, K \) が正定値であるとき、次の主張を示せ：(\det H)^{1/n} + (\det K)^{1/n} \le (\det(H + K))^{1/n}.こ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P18]
7.8.問題18問題 7.8.P18（式 (7.8.28) の類似形）次の主張を示せ：| \det H |^{2/n} + | \det K |^{2/n} \le | \det A |^{2/n}.これを証明するためには、次を示せば十分で...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P17]
7.8.問題17問題 7.8.P17（式 (7.8.25) の類似形）次の主張を示せ：\(| \det H | + | \det K | \le | \det A |\) （ただし \( n \ge 2 \)）。これを証明するためには、次の...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P16]
7.8.問題16問題 7.8.P16（式 (7.8.20) の類似形）次の主張を示せ：\(| \det H | \le | \det A |\)。これを証明するためには、次の不等式を示せば十分であることを説明し、それを証明せよ。\prod_...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P15]
7.8.問題15問題 7.8.P15次を確認せよ：| \det H | = | \det S |^2 | \det \Lambda | = | \det S |^2 \prod_{j=1}^n | \cos \theta_j |,| \de...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P14]
7.8.問題14問題 7.8.P14行列 \( A = H + iK \) の実部 \( H \) および虚部 \( K \) に関する行列式の不等式を扱う。ここで \( A \) は可逆であり、∗合同変換（∗congruence）によって...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P13]
7.8.問題13問題 7.8.P13 \( A = \in M_n \) を正定値行列とし、その固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。式 (1.2.14) で定義される \( k \) 次の...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P12]
7.8.問題12問題 7.8.P12 \( A = \in M_n \) を正定値行列とし、次のように分割する：A =\begin{bmatrix}A_{11} & x \\x^* & a_{nn}\end{bmatrix},\quad A...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P11]
7.8.問題11問題 7.8.P11\( A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^* & A_{22} \end{bmatrix} \) が正定値であるとする。シューア補行列に対する逆フィ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P10]
7.8.問題10問題 7.8.P10 \( A \in M_n \) を正定値行列とし、\( u_1, \ldots, u_n \in \mathbb{C}^n \) が直交正規系であるとする。前問の結果を用いて、次が成り立つことを示せ：u...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P9]
7.8.問題9問題 7.8.P9 \( A \in M_n \) を正定値行列とする。このとき次を示せ：\det A = \min \left\{ \prod_{i=1}^n v_i^* A v_i : v_1, \ldots, v_n \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P8]
7.8.問題8問題 7.8.P8 \( A = \in M_n \) とする。(a) アダマールの不等式を用いて、次の不等式を導け（これはフレドホルム積分方程式の理論における有名な不等式である）：|\det A| \le \|A\|_\in...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P7]
7.8.問題7\( A = \in M_3(\mathbb{R}) \) とし、すべての成分が \( |a_{ij}| \le 1 \) を満たすとする。このとき、 \( |\det A| \le 3\sqrt{3} \) であり、この上限...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P6]
7.8.問題6問題 7.8.P6 \( H = \begin{bmatrix} A & B \\ B^* & C \end{bmatrix} \in M_n \) が正定値であるとする。 \( H = LL^* \) をコレスキー分解（式 ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P5]
7.8.問題5問題 7.8.P5 次のブロック行列が正定値であると仮定する：H_+ =\begin{bmatrix}A & B \\B^* & C\end{bmatrix}(a) 次の行列も正定値であることを示せ：H_- =\begin{b...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P4]
7.8.問題4問題 7.8.P4 \( A \in M_n \) を正定値行列とし、関数 \( f(A) = (\det A)^{1/n} \) と定義する。(a) 次を示せ：f(A) = \min \left\{ \frac{1}{n} ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P3]
7.8.問題3問題 7.8.P3 \( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。このとき、次の3つの条件が同値であることを示せ。(a) \( A \circ B = AB \) (b) \( \det(A \circ B) = ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P2]
7.8.問題2問題 7.8.P2 \( A = _{i,j=1}^n \in M_{nk} \) とし、各ブロック \( A_{ij} \in M_k \) とする。このとき、アダマールの不等式 (7.8.2) のブロック行列版を次のように...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P1]
7.8.問題1問題 7.8.P1\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。もし \( A \) が正定値で、かつ \( B \) の対角成分がすべて正であるとき、式 (7.8.17) を用いて \( A \circ B \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8]問題集
7.8.問題集問題 7.8.P1\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。もし \( A \) が正定値で、かつ \( B \) の対角成分がすべて正であるとき、式 (7.8.17) を用いて \( A \circ B \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.27]定理：ファンの行列式不等式
7.8.27 ファンの行列式不等式（Fan’s Determinant Inequality）定理 7.8.27（ファンの行列式不等式） \( H, K \in M_n \) をエルミート行列とし、\( A = H + iK \) とする。...