0.2.1 長方形行列行列とは、体 \( \mathbb{F} \) 上のスカラーによる m 行 n 列 の配列です。特に \( m = n \) の場合、その行列は正方行列と呼ばれます。体 \( \mathbb{F} \) 上の全ての m...

0.2 行列（Matrices）ここで扱う基本的な対象は、以下の2つの重要な観点から捉えることができます。1つはスカラーの長方形配列として、もう1つは、各ベクトル空間に基底が指定されたうえでの線形変換としてです。0.2.1 長方形配列0.2...

0.1.8 同型写像（Isomorphism）\( U \) および \( V \) が同じスカラー体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間であり、関数 \( f : U \to V \) が次の性質を持つとします：\( f ...

0.1.7 次元ある正の整数 \( n \) が存在して、ベクトル空間 \( V \) のすべての基底がちょうど \( n \) 個の要素からなるとき、その \( n \) を \( V \) の次元（dimension）と呼び、記号 \(...

0.1.6 基底への拡張任意の線形独立なベクトル列は、何らかの方法（複数の場合もある）で \( V \) の基底に拡張できます。ベクトル空間の基底は有限とは限りません。たとえば、無限列 \( 1, t, t^2, t^3, \ldots \...

0.1.5 基底ベクトル空間 \( V \) における線形独立なベクトル列で、そのスパンが \( V \) 全体になるものを、\( V \) の基底（basis）と呼びます。すなわち、すべてのベクトルは、基底の要素の一次結合として一意に表さ...

0.1.4 線形従属と線形独立ベクトル空間 \( V \) 上の有限個のベクトル \( v_1, \ldots, v_k \) の列が 線形従属であるとは、すべてが 0 ではないスカラー \( a_1, \ldots, a_k \in \m...

0.1.3 部分空間、スパン、線形結合体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間 \( V \) に対して、\( V \) の部分集合であって、\( V \) と同じベクトル加法およびスカラー倍により再び \( \mathbb{...

0.1.2 ベクトル空間体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間 \( V \) は、以下の性質を持つ集合です：「加法」という二項演算の下で閉じており、加法は結合的・可換的です。加法における単位元（ゼロベクトル、記号 \( 0...

0.1.1 スカラー体ベクトル空間の背後には、その体（スカラーの集合）があります。ここで扱う体は、通常は実数体 \( \mathbb{R} \) または複素数体 \( \mathbb{C} \)（付録Aを参照）ですが、有理数体、素数を法とす...

0.1 ベクトル空間有限次元ベクトル空間は、行列解析の基本的な枠組みです。0.1.1 スカラー体0.1.2 ベクトル空間0.1.3 部分空間、スパン、線形結合0.1.4 線形従属と線形独立0.1.5 基底0.1.6 基底への拡張0.1.7 ...

0.1 はじめにこの最初の章では、本書の残りの部分の基礎となる多くの有用な概念と事実を要約します。これらの内容の一部は、典型的な線形代数の初等コースで扱われる内容ですが、本書では、後続の説明には登場しない追加の有用な項目についても取り上げま...

0.復習と雑学この最初の章では、本書の残りの部分の基礎となる、多くの有用な概念と事実をまとめています。この内容の一部は、線形代数の一般的な初級コースに含まれていますが、以降の説明では取り上げない追加の有用な項目も含まれています。読者は、第 ...

下記の2行2列の行列について、固有値と固有ベクトルを求めた結果をまとめておきます。\(\displaystyle \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}\)ここで\(a,b,c,d\)は実数または複素数で...

行列を解析するときに、めちゃくちゃ必要になる知識がブロック行列の計算です。行列を、列ベクトルが並んだもの、行ベクトルが並んだものとみなすのはもちろん、１列目や１行目を特別視する時にはブロック行列で考えていることになっているからです。また行列...