2.5.問題152.5.P15 2つの正規行列が相似であることと、それらが同じ特性多項式をもつことは同値であることを示せ。正規行列であるという仮定を取り除いた場合、この命題は成り立つかどうかを考察せよ。次の例を考えよ。 \begin{bma...

2.5.問題142.5.P14 実行列 \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\) が与えられたとする。このとき、\(A\) が正規であり、かつ固有値がすべて実数であることと、\(A\) が対称行列であることは同値である理由を説...

2.5.問題132.5.P13 (2.5.P12) を用いて、\(A \in M_{n}\) が正規であることと、あるユニタリ行列 \(V \in M_{n}\) が存在して \(A^{*} = AV\) となることは同値であることを示せ。...

2.5.問題122.5.P12 (2.5.P11) を一般化して、もし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}) \in M_{n}\) なら、対角ユニタリ行列 ...

2.5.問題112.5.P11 任意の複素数 \(z \in \mathbb{C}\) に対し、\(\overline{z} = e^{i\theta} z\) かつ \(|z| = e^{i\tau} z\) を満たす \(\theta,...

2.5.問題102.5.P10 \(A, B \in M_n\) がともに正規であるとする。もし \(A\) と \(B\) が可換なら、\(AB\) および \(A \pm B\) はいずれも正規であることを示せ。逆はどうか。次の例を確か...

2.5.問題92.5.P9 \(A \in M_n\) を \(A = H(A) + i\,K(A)\)（\(H(A), K(A)\) はエルミート）と表す。もし \(H(A)\) のあらゆる固有ベクトルが \(K(A)\) の固有ベクトル...

2.5.問題82.5.P8 \(A \in M_n\) を \(A = H(A) + i\,K(A)\)（ここで \(H(A), K(A)\) はエルミート；(0.2.5) 参照）と表す。\(A\) が正規であることと、\(H(A)\) と...

2.5.問題72.5.P7 可逆な \(B \in M_n\) に対して \(A = B^{-1}B^{*}\) という形の行列 \(A \in M_n\) を考える（(2.1.9)参照）。(a) \(A\) がユニタリであることと \(B...

2.5.問題62.5.P6 \(A \in M_n\) が正規であることと、互いに異なる固有値をもつある正規行列と可換であることは同値であることを示せ。

2.5.問題52.5.P5 \(A \in M_n\) が斜エルミート（それぞれ、エルミート）であるとき、\(iA\) はエルミート（それぞれ、斜エルミート）であることを示せ。

2.5.問題42.5.P4 正規行列が斜エルミート（skew Hermitian）であることと、そのすべての固有値が純虚数（実部が 0）であることは同値であることを示せ。

2.5.問題32.5.P3 正規行列がエルミート（Hermitian）であることと、そのすべての固有値が実数であることは同値であることを示せ。

2.5.問題22.5.P2 正規行列がユニタリであることと、そのすべての固有値の絶対値が 1 であることは同値であることを示せ。

2.5.問題12.5.P1 \(A \in M_n\) が正規であることと、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) について \((Ax)^{*}(Ax) = (A^{*}x)^{*}(A^{*}x)\)、すなわち \(\lV...

2.5参考文献およびさらなる読書案内正規行列の 89 の特徴づけに関する議論は、次の文献を参照のこと：R. Grone, C. R. Johnson, E. Sa, H. Wolkowicz, "Normal matrices," Line...

2.5.21定理 2.5.21. \(F = \{ A_{\alpha} : \alpha \in I \} \subset M_n(\mathbb{R})\)、\(G = \{ B_{\alpha} : \alpha \in I \} \...

2.5.20系 2.5.20. \(U \in M_n\) をユニタリ行列とする。(a) \(U\) が対称である場合、対称ユニタリ行列 \(V\) が存在して \(V^2 = U\) となり、さらに \(V\) は \(U\) の多項式と...

2.5.18系 2.5.18. \(U \in M_n\) をユニタリ行列とする。(a) \(U\) が対称行列ならば、実直交行列 \(Q \in M_n(\mathbb{R})\) と、実数 \(\theta_1,\ldots,\thet...

2.5.17定理 2.5.17. \(A \in M_n\) が正規行列（normal）とする。このとき次の3条件は同値である。(a) \(\overline{A}\,A = A\,\overline{A}\)。(b) \(A^{T}A =...

2.5.16　定理定理 2.5.16（Fuglede–Putnam）. \( A \in M_n \)、\( B \in M_m \) が正規行列であり、\( X \in M_{n,m} \) とする。このとき、AX = XB \quad ...

2.5.15定理 2.5.15. \( \mathcal{N} \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) を、非空な実正規行列の可換族とする。このとき、実直交行列 \( Q \) および非負整数 \( q \) が存在して、...

2.5.11 系系 2.5.11. \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。(a) \( A = A^\top \) であることと、実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、Q^...

2.5.8定理 2.5.8. \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が正規行列であるとする。(a) 実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、次の形の実準対角行列と実直交相似である：\...

2.5.7補題 2.5.7. 行列 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}) \) が正規行列であり、かつ共役な非実の固有値を持つと仮定す...

2.5.6定理 2.5.6. \( A \in M_n \) がエルミート行列であり、固有値が \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) であるとします。また、\Lambda = \mathrm{diag}(\l...

2.5.5定理 2.5.5. \( N \subseteq M_n \) を正規行列の空でない族とします。このとき、次の2つは同値です：\( N \) が可換な族である。\( N \) が同時にユニタリ対角化可能な族である。任意の \( A...

2.5.4定理 2.5.4. \( A \in M_n \) が正規行列であり、異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) を持ち、それぞれの重複度が \( n_1, \ldots, n_d \) で...