2.5.18系 2.5.18. \(U \in M_n\) をユニタリ行列とする。(a) \(U\) が対称行列ならば、実直交行列 \(Q \in M_n(\mathbb{R})\) と、実数 \(\theta_1,\ldots,\thet...

2.5.17定理 2.5.17. \(A \in M_n\) が正規行列（normal）とする。このとき次の3条件は同値である。(a) \(\overline{A}\,A = A\,\overline{A}\)。(b) \(A^{T}A =...

2.5.16　定理定理 2.5.16（Fuglede–Putnam）. \( A \in M_n \)、\( B \in M_m \) が正規行列であり、\( X \in M_{n,m} \) とする。このとき、AX = XB \quad ...

2.5.15定理 2.5.15. \( \mathcal{N} \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) を、非空な実正規行列の可換族とする。このとき、実直交行列 \( Q \) および非負整数 \( q \) が存在して、...

2.5.11 系系 2.5.11. \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。(a) \( A = A^\top \) であることと、実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、Q^...

2.5.8定理 2.5.8. \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が正規行列であるとする。(a) 実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、次の形の実準対角行列と実直交相似である：\...

2.5.7補題 2.5.7. 行列 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}) \) が正規行列であり、かつ共役な非実の固有値を持つと仮定す...

2.5.6定理 2.5.6. \( A \in M_n \) がエルミート行列であり、固有値が \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) であるとします。また、\Lambda = \mathrm{diag}(\l...

2.5.5定理 2.5.5. \( N \subseteq M_n \) を正規行列の空でない族とします。このとき、次の2つは同値です：\( N \) が可換な族である。\( N \) が同時にユニタリ対角化可能な族である。任意の \( A...

2.5.4定理 2.5.4. \( A \in M_n \) が正規行列であり、異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) を持ち、それぞれの重複度が \( n_1, \ldots, n_d \) で...

2.5.3 定理行列 \( A = \in M_n \) が固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) を持つとします。以下の主張はすべて同値です：(a) \( A \) は正規行列である。(b) \( A...

2.5.2行列 \( A \in M_n \) が次のように分割されているとします：A =\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\0 & A_{22}\end{bmatrix}ここで \( A_{11} \) およ...

ユニタリ相似（unitary similarity）の文脈で自然に現れる正規行列のクラスは、行列解析において広く重要な役割を果たします。正規行列には、ユニタリ行列、エルミート行列、反エルミート行列、実直交行列、実対称行列、および実反対称行列...

2.4.問題352.4.P35\( A \in \mathbb{M}_n(F) \) （\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）とする。\( A \) が \( \mathbb{M}_n(F) \...

2.4.問題342.4.P34\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2 \) に対して、明示的に計算をしてケイリー・ハミルトンの定理、A^2 -...

2.4.問題332.4.P33\( A, B \in \mathbb{M}_n \)、\( p \) は正の整数とする。\( A \) がブロック上三角形行列でA = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0...

2.4.問題322.4.P32\( A, B \in \mathbb{M}_n \)、\( C = AB - BA \) とする。なぜ\operatorname{tr} C \neq 0であることはありえないか説明せよ。特に、\( c \n...

2.4.問題312.4.P31\( A \in \mathbb{M}_n \) のすべての固有値がゼロであるならば、(2.4.3.2)を用いて \( A^n = 0 \) を証明せよ。

2.4.問題302.4.P30\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( p(t) \) を次数が \( n \) より大きい多項式とする。ユークリッドの互除法（多項式の割り算）を用いて、p(t) = h(t) p_A(t...

2.4.問題292.4.P29\( A \in \mathbb{M}_n \)、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) は非零ベクトルで、\( A x = \lambda x \)、\( y^* A = \lambda y^...

2.4.問題282.4.P28\( A \in \mathbb{M}_n \) が特異行列で、\( r = \mathrm{rank} A \) とする。このとき次数が高々 \( r+1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \...

2.4.問題272.4.P27\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( A = B C \)、かつ \( B, C^T \in \mathbb{M}_{n,k} \) とする。このとき、(2.4.3.2) を用いて次数が...

2.4.問題262.4.P26\( B \in \mathbb{M}_{n,k} \), \( C \in \mathbb{M}_{k,n} \) とする。任意の多項式 \( p(t) \) について次を示せ。B C p(B C) = B ...

2.4.問題252.4.P25\( A, B \in \mathbb{M}_2 \)、\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \lambda_2 \) とする。1.\( A \) は次の形の行列にユニタリ相似であることを示せ...

2.4.問題242.4.P24\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とするとき、余因子行列 \( \mathrm{adj} A \) の固有値は\...

2.4.問題232.4.P23\( T = \in \mathbb{M}_n \) が上三角行列のとき、\( \mathrm{adj} T = \) も上三角行列であり、対角成分は\tau_{ii} = \prod_{j \neq i} t...

2.4.問題222.4.P22\( A \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( \mu_1, \ldots, \mu_d \)（重複度はそれぞれ \( \nu_1, \ldots, \nu_d \)）を持つとする。モ...

2.4.問題212.4.P21\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。ハンケル行列K = _{i,j=1}^nは \( A \) に対応する...

2.4.問題202.4.P20\( A, B \in \mathbb{M}_n \) で \( AB = 0 \) とし、\( C = AB - BA = -BA \) とする。2つの非可換変数の多項式 \( p(s,t) \) を考える。...