2.5.問題252.5.P25 \(A \in M_{n}, B \in M_{m}\) が正規であり、\(X \in M_{n,m}\) が与えられたとする。このとき \(\overline{B}\) が正規である理由を説明し、次が成り立...

2.5.問題242.5.P24 \(A \in M_{n}\) が正規かつ冪零ならば、\(A = 0\) であることを示せ。

2.5.問題232.5.P23 次の2つの行列はどちらも対称であるが、一方は正規であり他方は正規ではないことを示せ。これは実対称行列と複素対称行列の重要な違いである。 \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{...

2.5.問題222.5.P22 (2.5.6) を用いて、複素エルミート行列の特性多項式は実係数をもつことを示せ。

2.5.問題212.5.P21 \(A \in M_{n}\) が正規であるとする。このとき、\(Ax = 0 \iff A^{*}x = 0\)、すなわち \(A\) の零空間は \(A^{*}\) の零空間と一致することを示せ。一方、非...

2.5.問題202.5.P20 \(A \in M_{n}\) が正規であり、\(x \in \mathbb{C}^{n}\) が固有値 \(\lambda\) に対応する右固有ベクトルであるとする。(2.5.P1) および (2.5.P1...

2.5.問題192.5.P19 \(A \in M_{n}\) と \(a \in \mathbb{C}\) が与えられたとする。(2.5.1) の定義を用いて、\(A\) が正規であることと \(A + aI\) が正規であることは同値で...

2.5.問題182.5.P18 \(A \in M_{n}\) に対し、ある零でない多項式 \(p(t)\) が存在して \(p(A)\) が正規であるとする。このとき \(A\) 自身が正規であることは従うか。

2.5.問題172.5.P17 \(A \in M_{n}\) が正規であり、\(p(t)\) が与えられた多項式であるとする。(2.5.1) を用いて \(p(A)\) が正規であることを示せ。また (2.5.3) を用いた別の証明を与え...

2.5.問題162.5.P16 \(U, V, \Lambda \in M_{n}\) で \(U, V\) がユニタリなら、\(U \Lambda U^{*}\) と \(V \Lambda V^{*}\) はユニタリに相似であることを示...

2.5.問題152.5.P15 2つの正規行列が相似であることと、それらが同じ特性多項式をもつことは同値であることを示せ。正規行列であるという仮定を取り除いた場合、この命題は成り立つかどうかを考察せよ。次の例を考えよ。 \begin{bma...

2.5.問題142.5.P14 実行列 \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\) が与えられたとする。このとき、\(A\) が正規であり、かつ固有値がすべて実数であることと、\(A\) が対称行列であることは同値である理由を説...

2.5.問題132.5.P13 (2.5.P12) を用いて、\(A \in M_{n}\) が正規であることと、あるユニタリ行列 \(V \in M_{n}\) が存在して \(A^{*} = AV\) となることは同値であることを示せ。...

2.5.問題122.5.P12 (2.5.P11) を一般化して、もし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}) \in M_{n}\) なら、対角ユニタリ行列 ...

2.5.問題112.5.P11 任意の複素数 \(z \in \mathbb{C}\) に対し、\(\overline{z} = e^{i\theta} z\) かつ \(|z| = e^{i\tau} z\) を満たす \(\theta,...

2.5.問題102.5.P10 \(A, B \in M_n\) がともに正規であるとする。もし \(A\) と \(B\) が可換なら、\(AB\) および \(A \pm B\) はいずれも正規であることを示せ。逆はどうか。次の例を確か...

2.5.問題92.5.P9 \(A \in M_n\) を \(A = H(A) + i\,K(A)\)（\(H(A), K(A)\) はエルミート）と表す。もし \(H(A)\) のあらゆる固有ベクトルが \(K(A)\) の固有ベクトル...

2.5.問題82.5.P8 \(A \in M_n\) を \(A = H(A) + i\,K(A)\)（ここで \(H(A), K(A)\) はエルミート；(0.2.5) 参照）と表す。\(A\) が正規であることと、\(H(A)\) と...

2.5.問題72.5.P7 可逆な \(B \in M_n\) に対して \(A = B^{-1}B^{*}\) という形の行列 \(A \in M_n\) を考える（(2.1.9)参照）。(a) \(A\) がユニタリであることと \(B...

2.5.問題62.5.P6 \(A \in M_n\) が正規であることと、互いに異なる固有値をもつある正規行列と可換であることは同値であることを示せ。

2.5.問題52.5.P5 \(A \in M_n\) が斜エルミート（それぞれ、エルミート）であるとき、\(iA\) はエルミート（それぞれ、斜エルミート）であることを示せ。

2.5.問題42.5.P4 正規行列が斜エルミート（skew Hermitian）であることと、そのすべての固有値が純虚数（実部が 0）であることは同値であることを示せ。

2.5.問題32.5.P3 正規行列がエルミート（Hermitian）であることと、そのすべての固有値が実数であることは同値であることを示せ。

2.5.問題22.5.P2 正規行列がユニタリであることと、そのすべての固有値の絶対値が 1 であることは同値であることを示せ。

2.5.問題12.5.P1 \(A \in M_n\) が正規であることと、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) について \((Ax)^{*}(Ax) = (A^{*}x)^{*}(A^{*}x)\)、すなわち \(\lV...

2.5参考文献およびさらなる読書案内正規行列の 89 の特徴づけに関する議論は、次の文献を参照のこと：R. Grone, C. R. Johnson, E. Sa, H. Wolkowicz, "Normal matrices," Line...

2.5.21定理 2.5.21. \(F = \{ A_{\alpha} : \alpha \in I \} \subset M_n(\mathbb{R})\)、\(G = \{ B_{\alpha} : \alpha \in I \} \...

2.5.20系 2.5.20. \(U \in M_n\) をユニタリ行列とする。(a) \(U\) が対称である場合、対称ユニタリ行列 \(V\) が存在して \(V^2 = U\) となり、さらに \(V\) は \(U\) の多項式と...