2.6.問題112.6.P11\(A \in M_{n,m}\) および正規行列 \(B \in M_m\) を与える。このとき、\(A^* A\) が \(B\) と可換であることと、ユニタリ行列 \(V \in M_n\)、\(W \i...

2.6.問題102.6.P10\(A, B \in M_n\) を与え、\(A\) の特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n \ge 0\) とし、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\...

2.6.問題92.6.P9\(A \in M_n\) とし、ランク \(r = \mathrm{rank}(A)\) とする。降順の正の特異値 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_r\) から \(\Sigma_1 = \...

2.6.問題82.6.P8\(A \in M_{n,k}\)、\(B \in M_{k,m}\) を与える。特異値分解を用いて、\(\mathrm{rank}(AB) \le \min\{\mathrm{rank}(A), \mathrm{...

2.6.問題72.6.P7同じサイズの2つの複素行列がユニタリ合同であるのは、特異値が一致する場合に限ることを示せ。特異値とは行列 \( A \in M_{n,m} \) を与える。ここで \( q = \min\{m, n\} \) とし...

2.6.問題62.6.P6\(A \in M_n\) とし、QR分解 \(A = QR\) を考える。(a) QRが正規であることと RQ が正規であることは同値である理由を説明せ。(b) \(A\) が正規であることと、\(Q\) および...

2.6.問題52.6.P5\(A \in M_{n,m}\) とし、\(A = B + i C\) と書く。ここで \(B, C \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) とする。このとき、実直交行列 \(X \in M_n(\m...

2.6.問題42.6.P4\(A, B \in M_{n,m}\) が同時に実対角または非負実対角行列にユニタリ合同できるのはいつか？ (a) \(AB^*\) および \(B^*A\) が両方エルミートであることと、ユニタリ行列 \(X ...

2.6.問題32.6.P3\(A, B \in M_{n,m}\) が同時にユニタリ合同で対角行列にできるのはいつか？ \(AB^*\) および \(B^*A\) が両方正規であることと、ユニタリ行列 \(X \in M_n\)、\(Y \...

2.6.問題22.6.P2\(A, B \in M_{n,m}\) がユニタリ合同で同時対角化可能であるとする。すなわち、ユニタリ行列 \(X \in M_n\) および \(Y \in M_m\) が存在して、\(X^* A Y = \S...

2.6.問題12.6.P1\(A \in M_{n,m}\) とし、\(n \ge m\) とする。行列 \(A\) が列フルランクを持つことと、その特異値がすべて正であることが同値であることを示せ。

2.6注釈および参考文献注釈および参考文献：複素対称行列に対する特別な特異値分解 (2.6.6a) は、1915年に L. Autonne によって発表された。その後、何度も再発見されている。Autonne の証明は (2.6.4) のバー...

2.6.7系 2.6.7. \(A \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) をランク \(r = \mathrm{rank}(A)\) をもつ実行列とする。このとき、\(A = P \Sigma Q^T\) と表すことができ、こ...

2.6.6系 2.6.6. \(A \in M_n\) をランク \(r = \mathrm{rank}(A)\) をもつ行列とする。(a) （オートン） \(A = A^T\) であることは、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) と非...

2.6.5定理 2.6.5 （オートンの一意性定理）. \( A \in M_{n,m} \) をランク \(\mathrm{rank}(A) = r\) をもつ行列とする。\( s_1, \ldots, s_d \) を \(A\) の異...

2.6.4定理 2.6.4. 無限列 \( A_1, A_2, \ldots \in M_{n,m} \) が与えられ、成分ごとの収束により \(\lim_{k \to \infty} A_k = A\) であるとする。また \( q = ...

2.6.3定理 2.6.3（特異値分解）. \( A \in M_{n,m} \) とし、\( q = \min\{m,n\} \)、さらに \(\mathrm{rank}\,A = r\) とする。(a) ユニタリ行列 \( V \in ...

2.6.2定理 2.6.2. \( A, B \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。このとき、実直交行列 \( V, W \in M_n \) が存在して、\( A = V T_A W^T \)、\( B = V T_B W...

2.6.1定理定理 2.6.1. \( A, B \in M_n \) とする。このとき、ユニタリ行列 \( V, W \in M_n \) が存在して、\( A = V T_A W^* \)、\( B = V T_B W^* \) が成り...

2.5.問題762.5.P76 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) の各成分が 0 または 1 であるとし、\( e \in \mathbb{R}^n \) を全ての成分が 1 のベクトル、\( J \in M_n(\m...

2.5.問題752.5.P75 \( A, B, X \in M_n \) とする。(a) \(AX = XB\) かつ \(XA = BX\) が成り立つことと、 \begin{bmatrix} 0 & X \\ X & 0 \end{b...

2.5.問題742.5.P74 \( A, B, X \in M_n \) とする。もし \(AX = XB\) であり、かつ \(X\) が正規行列ならば、\(AX^* = X^*B\) が成り立つか？ Fuglede–Putnam の定...

2.5.問題732.5.P73 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が正規で、固有値 \(\lambda = a + ib \ (\lambda \notin \mathbb{R})\) と固有ベクトル \(x\) をも...

2.5.問題722.5.P72 行列 A_1 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end...

2.5.問題712.5.P71 行列 \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{R}) は実正規行列の議論において重要な役割を果たす。この行列を (3.1.P...

2.5.問題702.5.P70 \( n \times n \) 複素行列の組 \((A_1, B_1), \ldots, (A_m, B_m)\) を考える。あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して、各 \( j = ...

2.5.問題692.5.P69 \( k \times k \) ブロック行列 M_A = _{i,j=1}^k \in M_{kn}, \quad \\A_{ij} = \begin{cases} 0 & (i \geq j) \\ I_...

2.5.問題682.5.P68 \( A, B \in M_n \) とし、\( B \) が正規であり、かつ \( A \) の零ベクトルがすべて \( B \) の正規固有ベクトルであると仮定する。このとき \( AB = 0 \) で...