3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.4]3.4 実ジョルダン標準形とウェイア標準形
この節では、実行列に対するジョルダン標準形の実数版と、特に可換性に関わる問題で有用な複素行列に対するジョルダン標準形の代替であるウェイア標準形について議論します。3.4 この節の目次3.4.13.4.1.53.4.1.7注釈と参考文献Edu...
3.標準形と三角因子分解 
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P35]
3.3 問題353.3.P35\( A \in M_n \) とし、\(\operatorname{rank} A = 1\) であると仮定する。このとき最小多項式がq_A(t) = t(t - \operatorname{tr} A)であ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P34]
3.3 問題343.3.P34\( A, B \in M_n \) とし、\( C = AB - BA \) とする。\( A \) の最小多項式 (3.3.5b) を考え、\( m = 2 \max\{r_1, \ldots, r_d\}...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P33]
3.3 問題333.3.P33 (3.3.11) の多項式 \( p \) の根を \( z_1, \ldots, z_n \) とする。このとき次を示しなさい。\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |z_i|^2 \leq 1...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P32]
3.3 問題323.3.P32\( A \in M_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とする。ジョルダン標準形におけるブロックの個数を \( N = w_1(A,\lambda...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P31]
3.3 問題313.3.P31最小多項式が \( x^2 + 1 \) となる実数の \(3 \times 3\) 行列は存在しないことを示しなさい。ただし、そのような性質を持つ実数の \(2 \times 2\) 行列や複素数の \(3 ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P30]
3.3 問題30.3.P30\( A, K \in M_n \) とし、\( K \) は反転行列（involution, \( K^2 = I \)）であり、\( A = -KAK \) が成り立つとする。このとき次を示しなさい。(a) ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P29]
3.3 問題293.3.P29\( A, K \in M_n \) とし、\( K \) は反転行列であり、\( A = KAK \) が成り立つとする。このとき以下を示しなさい。(a) ある \( m \in \{0,1,\ldots,n...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P28]
3.3 問題283.3.P28\( K \in M_n \) が反転行列（involution, \( K^2 = I \)）であると仮定する。このとき、\( K \) が対角化可能であり、かつある \( m \in \{0,1,\ldot...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P27]
3.3 問題273.3.P27複素数値関数 \( y(t) \) に対する n 次線形斉次常微分方程式y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + a_{n-2} y^{(n-2)} + \cdots + a_1 y' + a...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P26]
3.3 問題263.P26これは (2.4.P16) の一般化である。\( A \in M_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とし、最小多項式をq_A(t) = (t - \l...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P25]
3.3 問題253.3.P25 (3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P24]
3.3 問題243.3.P24(3.3.4)の直前の演習にある例を用いて、任意の多項式 \( p(t) \) に対して \( p(A) = 0 \) であることと \( p(B) = 0 \) であることが同値となるような、相似でない \(...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P23]
3.3 問題233.3.P23コンパニオン行列（companion matrix）は、固有値がすべて異なる場合に限り対角化可能であることを示しなさい。
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P22]
3.3 問題223.3.P22\( A \in M_n \) とする。このとき \( A \) の最小多項式の次数は高々 \(\operatorname{rank} A + 1\) であることを説明せよ。さらに、この上界が特異行列に対して最...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P21]
3.3 問題213.3.P21(3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P20]
3.3 問題203.3.P20(3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P19]
3.3 問題193.3.P19\( A, B \in M_n \) とし、交換子 \( C = AB - BA \) を考える。(2.4.P12) で学んだように、もし \( C \) が \( A \) または \( B \) と可換であ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P18]
3.3 問題183.3.P18ニュートンの恒等式 (2.4.18–19) は、標準的な行列解析の恒等式をコンパニオン行列に適用することで証明できる。(2.4.P3) と (2.4.P9) の記法を採用し、\( A \in M_n \) を多...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P17]
3.3 問題173.3.P17ある行列がコンパニオン行列 \( C \) と可換であるなら、その行列は \( C \) の多項式であることを説明せよ。
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P16]
3.3 問題163.3.P16\( A, B, C \in M_n \) とし、多項式 \( p_1(t), p_2(t) \) が存在して \( A = p_1(C), B = p_2(C) \) であるとする。このとき \( A \) ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P15]
3.3 問題153.3.P15任意の \(A\in M_n\) に対して集合P(A)=\{ p(A) : p(t)\ \text{は多項式} \}を考える。\(P(A)\) が \(M_n\) の部分代数（すなわち \(A\) によって生成...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P14]
3.3 問題143.3.P14(3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P13]
3.3 問題133.3.P13任意の \(n\) 個の複素数は \(n\times n\) コンパニオン行列の固有値になり得ることを説明せよ。しかしコンパニオン行列の特異値には強い制約がある。(3.3.12)A =\begin{bmatri...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P12]
3.3 問題123.3.P12\(A,B\in M_n\) とし、\(p_A(t)=p_B(t)=q_A(t)=q_B(t)\) が成り立つと仮定する。なぜこのとき \(A\) と \(B\) は相似であるかを説明せよ。また、この事実を用い...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P11]
3.3 問題113.3.P11(3.3.12)A =\begin{bmatrix}0 & & & & -a_0 \\1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P10]
3.3 問題103.3.P10積分的計算により、多項式 (3.3.11)p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1 t + a_0がコンパニオン行列 (3.3.12) の特性多項式であることを直接計算で示せ。(3....
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P9]
3.3 問題93.3.P9\(A\in M_5\) が特性多項式 \(p_A(t)=(t-4)^3(t+6)^2\) かつ最小多項式 \(q_A(t)=(t-4)^2(t+6)\) をもつとする。\(A\) のジョルダン標準形は何か？
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P8]
3.3 問題83.3.P8\( A_i \in M_{n_i} \ (i=1, \ldots, k) \) とし、それぞれの最小多項式を \( q_{A_i}(t) \) とする。このとき、直和 \( A = A_1 \oplus \cdo...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.3.P7]
3.3 問題7.3.P7次の行列を考える：A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quadB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmat...