4.2.10定理 4.2.10. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を (4.2.1) に従って昇順に並べる。\( S \) を \( \mathbb{C}^n \) の \( k \) 次元部分空間、\( c...

4.2.6定理 4.2.6（クーラント＝フィッシャー）. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を代数的順序で \( \lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n \) とする。\( k...

4.2.5観察 4.2.5. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を (4.2.1) に従って \( \lambda_1(A) \leq \cdots \leq \lambda_n(A) \) と並べる。このとき...

4.2.4補題 4.2.4. 関数 \( f \) を集合 \( S \) 上の有界な実数値関数とする。ここで \( S_1, S_2 \) は集合であり、\( S_1 \) は空でなく、かつ \( S_1 \subset S_2 \sub...

4.2.3補題 4.2.3（部分空間の共通部分）　\( S_1, \ldots, S_k \) を \( \mathbb{C}^n \) の部分空間とする。もし\delta = \dim S_1 + \cdots + \dim S_k - ...

4.2.2定理 4.2.2（レイリー）. \(A \in M_n\) がエルミート行列であり、その固有値が (4.2.1) のように順序付けられているとする。整数 \(i_1, \ldots, i_k\) が \(1 \leq i_1 \l...

4.1.問題304.1.P30 \(A \in M_n\) がエルミートで \(\mathrm{rank}\,A = r > 0\) とする。\(A\) は rank-principal であるため、サイズ \(r\) の非零主小行列式を持...

4.1.問題294.1.P29\(A \in M_n\) がエルミートまたは実対称行列であるとする。\(A\) が不定（indefinite）であることは、少なくとも1つの正の固有値と少なくとも1つの負の固有値を持つことと同値である理由を説...

4.1.問題284.1.P28\(A \in M_n\) が \(B \oplus C\) にユニタリ相似である場合、ここで \(B \in M_k\)、\(C \in M_{n−k}\)、\(1 \le k \le n−1\) とする。こ...

4.1.問題274.1.P27\(A, P \in M_n\) とし、\(P\) が \(0\) でも \(I\) でもないエルミート射影であるとする。このとき、\(A\) が \(P\) と可換であることと、\(A\) があるユニタリ相似...

4.1.問題264.1.P26エルミート行列 \(P \in M_n\) が射影であることと、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在してP = U (I_k \oplus 0_{n-k}) U^{*}, \quad 0 \le...

4.1.問題254.1.P25\(A \in M_n\) をエルミート行列とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。このとき、複合行列 \(C_r(A)\) がエルミートであることを説明せよ。さらに、\(A\) が...

4.1.問題244.1.P24 \(A \in M_n\) をエルミート行列とする。このとき次を説明せよ：(a) \(\operatorname{adj}(A)\) はエルミートである。(b) \(A\) が半正定値なら \(\operat...

4.1.問題234.1.P23\(A, B \in M_n\) がエルミートであるとする。次を示せ：(a) \(AB\) がエルミートであることと、\(A\) が \(B\) と可換であることは同値である。(b) \(\operatorna...

4.1.問題224.1.P22エルミート行列 \(A\) の正半定部分 \(A^{+}\) の定義 (4.1.12) において、対角因子 \(\Lambda^{+}\) は一意に定まるが、ユニタリ因子 \(U\) は一意ではない。その理由を...

4.1.問題214.1.P21\(n \geq 2\) とし、\(x, y \in \mathbb{C}^n\)、および \(z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\) を与える。次を考える：エルミート行列 \(A ...

4.1.問題204.1.P20\(A \in M_n\) が射影であるとする。このとき、\(A\) がエルミート行列であることと、\(AA^{*}A = A\) が成り立つことは同値であることを示せ。

4.1.問題194.1.P19\(A \in M_n\) が射影行列 \(A^2 = A\) の場合、\(A\) がエルミートであるとき、Hermitian projection と呼ぶ。さらに、\(A\) の像が零空間に直交している場合、...

4.1.問題184.1.P18\(A \in M_n\) が与えられたとき、A がエルミートであることは \(A^2 = A^*A\) と同値であることを示せ。

4.1.問題174.1.P17\(A = \in M_2\) がエルミートで、固有値が \(\lambda_1, \lambda_2\) のとき、\((\lambda_1 - \lambda_2)^2 = (a_{11} - a_{22})...

4.1.問題164.1.P16任意の \(s, t \in \mathbb{R}\) に対して、\(\max\{|s|, |t|\} = \frac{1}{2}(|s+t| + |s-t|)\) であることを示せ。任意の \(A \in M...

4.1.問題154.1.P15\(A \in M_n\) がエルミート行列に相似であることは、対角化可能であり、固有値が実数であることと同値である理由を説明せよ。追加の同値条件については (7.6.P1) を参照。

4.1.問題144.1.P14ある \(\theta \in \mathbb{R}\) に対して \(A = e^{i\theta} A^*\) が成り立つことと、\(e^{-i\theta/2} A\) がエルミートであることは同値である...

4.1.問題134.1.P13\(A \in M_n\) が非零であるとする。(a) \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^*A}\) が成り立ち、等...

4.1.問題124.1.P12\(A \in M_n\) が与えられたとき、\(A\) がエルミートならば、\(\mathrm{rank}\,A\) は非零固有値の数に等しいことを説明せよ。ただし、非エルミート行列では必ずしも成り立たない。...

4.1.問題114.1.P11\(A, B \in M_n\) がエルミートのとき、なぜ \(AB - BA\) が歪エルミートとなるかを説明し、(4.1.P10) から \(\mathrm{tr}(AB)^2 \le \mathrm{tr...

4.1.問題104.1.P10\(A \in M_n\) がエルミートであることは \(iA\) が歪エルミートであることと同値であることを示せ。歪エルミート行列 \(B \in M_n\) について、(a) \(B\) の固有値は純虚数で...

4.1.問題94.1.P9\(A \in M_n\) は生成する半双線形形式の絶対値によってほぼ決定されることを示せ。すなわち、\(A, B \in M_n\) が与えられ、すべての \(x, y \in \mathbb{C}^n\) につ...

4.1.問題84.1.P8行列 \(A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) を考え、すべての \(x \in \mathbb{C}^2\) について \(|x^*Ax| = |x^*A...