4.4.5命題 4.4.5. \( A \in M_2 \) とし、\( \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq 0 \) を \( S(A) = \tfrac{1}{2}(A + A^T) \) の特異値とする。もし \(...

4.4.4系 4.4.4. \( A \in M\_n \) とする。(a) もしユニタリ行列 \( U \in M\_n \) が存在して \( A = UDU^T \) となり、\( D \) が上三角行列であるならば、\( A\bar...

4.4.3定理 4.4.3. \(A \in M_n\) と \(p \in \{0,1,\dots,n\}\) を与える。\(A\bar{A}\) が少なくとも \(p\) 個の実かつ非負の固有値（ここでは \(\lambda_1,\do...

4.4.2補題 4.4.2. \(A \in M\_n\) とし、\(\lambda\) を \(A \bar{A}\) の固有値、\(x \in \mathbb{C}^n\) を \(\lambda\) に対応する \(A \bar{A}...

4.3.注とさらなる読書メジャライゼーションについては Marshall と Olkin (1979) を参照せよ。リツキー不等式 (4.3.47b) は多くの重要な摂動評価の基盤となる。(6.3) および (7.4) を参照のこと。これら...

4.3.問題304.3.P30シュールのメジャライゼーション定理 (4.3.45) には、ブロック行列に対する一般化があり、不等式 (4.3.46) に中間項を導入する。\(A = _{i,j=1}^k\) を分割されたエルミート行列とし、...

4.3.問題294.3.P29\(A = _{i,j=1}^m \in M_n\) をエルミート行列とし、各 \(i = 1, \ldots, m\) に対して \(A_{ii} \in M_{n_i}\) であり、\(n_1 + \cdo...

4.3.問題284.3.P28(4.3.47) の仮定のもとで、次の主張\lambda(A + B)^{\downarrow} + \lambda(A - B)^{\downarrow} \succeq 2\lambda(A)が、ファンの不...

4.3.問題274.3.P27\(A \in M_n, \; y, z \in \mathbb{C}^n, \; a \in \mathbb{C}\) を与える。\(1 \leq \mathrm{rank} A = r \lt n\) とし...

4.3.問題264.3.P26 \(A, B \in M_n\) を三重対角行列とする。 (a) \(A\) および \(B^*\) が既約 (0.9.9) であり、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。このとき、\...

4.3.問題254.3.P25\(A \in M_n\) を上二重対角行列 (0.9.10) とする。 (a) その特異値は、成分の絶対値のみに依存することを示せ。 (b) 各 \(i = 1, \ldots, n\) について \(a_{...

4.3.問題244.3.P24\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とする。(4.3.47) において、リツキー（Lidskii）の不等式の2つの同値な形が現れる。すなわち、 「\(\lambda(A + B)\) は \(\l...

4.3.問題234.3.P23与えられた \(x, y \in \mathbb{R}^n\) について、(4.3.47a,b) を用いて次を一行で証明せよ。 (a) \(x + y\) は \(x^{\downarrow} + y^{\do...

4.3.問題224.3.P22　\( a_1,\ldots,a_n \) を相異なる正の実数（ただし全て等しくはない）とする。このときA = _{i,j=1}^n \in M_n(\mathbb{R})と定義する。一般的な原理から、この行列...

4.3.問題214.3.P21　\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( a \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{C}^n \) とする。(a) \(\hat{A}=\begin{bmatrix} A ...

4.3.問題204.3.P20　\( \lambda \in \mathbb{C}, a \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{C}^n \) とし、A = \begin{bmatrix}\lambda I_n & y...

4.3.問題194.3.P19　\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( z \in \mathbb{C}^n \) とする。(4.3.9) の記法を用いると、各 \( i=1,\ldots,n \) に対して \(\lamb...

4.3.問題184.3.P18　\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \in M_n(\mathbb{R})\) とし、固有値がすべて異なり \(\lambda_1 \l...

4.3.問題174.3.P17　\( A = \in M_n \) がエルミートかつ三重対角行列であり、各 \( i = 1,\ldots ,n-1 \) に対して \( a_{i,i+1} \neq 0 \) と仮定する（このとき \( ...

4.3.問題164.3.P16　(a) \( A \in M_2 \) が正規行列ならば、\(\mathrm{spread}(A) \geq 2|a_{12}|\) を示し、この評価が鋭い（達成される）例を与えよ。なぜ \(\mathrm{...

4.3.問題154.3.P15　\( A \in M_n \) を半正定値行列とし、\( m \in \{1, \ldots , n\} \) とする。(a) \( V \in M_{n,m} \) が直交正規な列を持つとする。(4.3.3...

4.3.問題144.3.P14　\( r \in \{1, \ldots , n\} \) とし、\( H_n \) を \( n \times n \) のエルミート行列の実ベクトル空間とする。与えられた \( A \in H_n \) ...

4.3.問題13.3.P13境界付きエルミート行列に関するコーシーの交錯定理 (4.3.17) が、エルミート行列に対するランク1摂動の交錯定理 (4.3.9) を導くことを示す以下の証明スケッチの詳細を補え。\(z \in \mathbb...

4.3.問題124.3.P12\(A \in M\_n\) を (4.3.29) のように分割し、\(B = \in M\_m\)、\(C = \in M\_{m,n-m}\) とする。前問と同じ記法を用いる。もし \(A\) の最大の \...

4.3.問題114.3.P11\(A = \in M\_n\) とする。「小さい」列や行を持つなら、「小さい」特異値も持つことを示す以下の議論の詳細を与えよ。特異値の2乗を大きい順に並べたものを \(\sigma\_1^2 \geq \cd...

4.3.問題104.3.P10\(A = \in M\_n\) が正規行列であるとする。このとき、\(A = U \Lambda U^\*\) が成り立ち、ここで \(U = \in M\_n\) はユニタリ行列、\(\Lambda = \...

4.3.問題94.3.P9\(A \in M\_n(\mathbb{R})\) が、任意の \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x\) が \(Ax\) を主要化すると仮定する。このとき、\(A\) が二重確率行列で...

4.3.問題84.3.P8\(e \in \mathbb{R}^n\) をすべての成分が 1 のベクトルとし、\(e\_i \in \mathbb{R}^n\) を標準基底ベクトルのひとつ、さらに \(y \in \mathbb{R}^n\...

4.3.問題74.3.P7(4.3.45) の証明のスケッチを補う詳細を与えよ。この証明は次元に関する帰納法を用い、コーシーの交錯定理を利用する。\(n=1\) の場合は自明とする。\(n-1\) サイズのエルミート行列に対して主張される主...