4.4.問題454.4.P45\(U, V \in M_n\) がユニタリかつ対称である場合、\(U\) と \(V\) はユニタリ合同であることを示せ。

4.4.問題444.4.P44\(A \in M_n\) に対して、(a) \(A \bar{A} = AA^*\) が成り立つのは、かつその場合に限り、\(A\) が対称である場合である。(b) \(A \bar{A} = -AA^*\)...

4.4.問題434.4.P43\(A \in M_n\) とし、\(A \bar{A}\) が半正定値であると仮定する。正準形 (4.4.30) から、\(A\) は各ブロックが\begin{pmatrix}\sigma\end{pmatr...

4.4.問題424.4.P42\(A \in M_n\) とし、\(A \bar{A}\) がエルミート行列であると仮定する。正準形 (4.4.29) から、\(A\) は各ブロックが\begin{pmatrix}\sigma\end{pm...

4.4.問題414.4.P41\(A \in M_n\) に対して \(A \bar{A}\) が正規（すなわち \(A\) は合同正規）であるのは、かつその場合に限り、\(A\) は各ブロックが\begin{pmatrix}\sigma\...

4.4.問題404.4.P40\(A \in M_n\) とし、次の行列を定義する：A_{2n} = \begin{pmatrix} 0 & A \\ \bar{A} & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}.(a) \(A...

4.4.問題394.4.P39前問の QS 分解を用いて、(4.4.27) のやや強いバージョンを証明せよ：\(A \in M_n\) が対称で、ある非特異行列 \(B\) と対角行列 \(\Lambda\) に対して \(A = B \L...

4.4.問題384.4.P38\(A \in M_n\) とし、次の行列を定義する：A_{2n} = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^T & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}.行列 \(A\) が ...

4.4.問題374.4.P370 でない \(\lambda \in \mathbb{C}\) と整数 \(m \ge 2\) が与えられたとする。ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\) に相似な複素対称行列 \(B \in ...

4.4.問題364.4.P36非特異行列 \(A \in M_n\) が与えられ、非特異複素対称行列 \(S \in M_n\) が存在して \(A^T = S A^{-1} S^{-1}\) が成り立つとする。次の手順で \(A\) が複...

4.4.問題354.4.P35なぜ実直交行列は対角化可能か？そのジョルダン標準形は？実ジョルダン標準形は？

4.4.問題344.4.P34複素対称行列は任意のジョルダン標準形を持てるが (4.4.24)、複素斜対称行列のジョルダン標準形は特別な形式を持つ。それは次の3種類の直和ブロックのみから構成される：(a) \(\lambda \neq 0\...

4.4.問題334.4.P33\(A \in M_n\) が二つの斜対称行列の積であるのは、かつその場合に限り、\(A\) のジョルダン標準形の非特異部分が \(J_k(\lambda) \oplus J_k(\lambda)\) のペアの...

4.4.問題324.4.P32\(A \in M_n\) は、対称行列と斜対称行列の積として表せるのは、かつその場合に限り、\(A\) が \(-A\) に相似である場合であることが知られている。つまり、\(A\) のジョルダン標準形の非特...

4.4.問題314.4.P31行列 \(A \in M_n\) のジョルダン標準形のどの性質が、両方の因子が対称となる形で \(A = BC\) と書けるために必要かつ十分か？

4.4.問題304.4.P30なぜ \(A \in M_n\) の次の性質が相似不変量（すなわち、相似同値類の一つの行列が持つ場合、その類のすべての行列が持つ）であるか説明せよ：\(A = BC\) と書け、かつ一方の因子が対称、他方が斜対...

4.4.問題294.4.P29\(A_{ij} \in M_n, i,j=1,2\) とし、\(A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \in...

4.4.問題284.4.P28\(A \in M_n\) とする。なぜ \(\det(I + A \overline{A})\) が実数かつ非負であるか示せ。

4.4.問題274.4.P27\(A = \in M_n\) を対称行列とし、\(A = U \Sigma U^T\) と表す。ただし、\(U = \) はユニタリ行列、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, ...

4.4.問題264.4.P26実行列 \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\) が複素直交行列で相似であることと、実直交行列で相似であることが同値であることを示せ。

4.4.問題254.4.P25対称行列 \(A \in M_n\) の固有値・固有ベクトルペアを \((\lambda, x)\) とする。(a) なぜ \(\overline{x}\) が \(A\) の左固有ベクトルとなるか説明せよ。(...

4.4.問題244.4.P24\(\lambda\) を \(A \in M_n\) の固有値とする。右固有ベクトル \(x\) と左固有ベクトル \(\overline{x}\) を考える。(a) \(x\) が等方的 (0.2.5) で...

4.4.問題234.4.P23\(A \in M_n\) がテプリッツ行列、\(K_n \in M_n\) が逆行列とする。なぜ \(A = (K_n U) \Sigma U^T\) の特異値分解を持つか、ユニタリ行列 \(U \in M_...

4.4.問題224.4.P22\(A \in M_n\) が対称で \(A^2 = I\) とする。なぜ複素直交行列 \(Q \in M_n\) と整数 \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) が存在して、\(A = Q(-I_...

4.4.問題214.4.P21実ジョルダンブロック \(C_m(a,b)\) と逆行列 \(K_{2m}\)（0.9.5.1）を考える。なぜ \(\hat{C}_m(a,b) = K_{2m} C_m(a,b)\) が実対称であるか説明せよ...

4.4.問題204.4.P20ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\)（3.1.2）と逆行列 \(K_m\)（0.9.5.1）を考える。なぜ \(\hat{J}_m(\lambda) = K_m J_m(\lambda)\) が...

4.4.問題194.4.P19\(A \in M_n\) とする。なぜ \(\mathrm{tr}(A\overline{A})\) は実数（必ずしも非負ではない）であるかを説明し、\(\mathrm{tr}(AA^*) \ge \math...

4.4.問題184.4.P18\(A \in M_n\) が共役正規であることと、実正規行列にユニタリ合同であることが同値である理由を説明せよ。

4.4.問題174.4.P17対称行列 \(A \in M_n\) の最大特異値を \(\sigma_1\) とする。示せ：\(\{ x^T A x : \|x\|_2 = 1 \} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| ...

4.4.問題164.4.P16(4.4.17) の 2×2 実直交ブロックは、非実非負でない \(A\overline{A}\) の固有値ペア \(\tau_{2j} e^{\pm 2i \theta_j}\), \(\theta_j \i...