5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.2]問題集
5.2.問題集5.2.P1 もし \(0 \lt p \lt 1\) ならば、\lVert x \rVert_p = \left( |x_1|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{1/p}は \(\mathbb{C}...
5.ベクトルと行列のノルム 
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.2]ノルムと内積の例
5.2 ノルムと内積の例ベクトル \(x = ^T \in \mathbb{C}^n\) のユークリッドノルム（\(l_2\)-ノルム）は、(5.2.1)\lVert x \rVert_2 = \left( |x_1|^2 + \cdots...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1]注記
5.1.注記さらなる参考文献.与えられたノルムが内積から導かれるための必要十分条件が平行四辺形恒等式であることを最初に証明したのは、P. Jordan と J. von Neumann によるものと思われる（On inner product...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P15]
5.1.問題155.1.P15 \( \lVert \cdot \rVert \) を内積から導かれるノルムとする。正の整数 \(m\) をとり、\(x_1, \ldots, x_m, z \in V\) とし、\(y = m^{-1}(x...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P14]
5.1.問題145.1.P14実数 \(x_1, \ldots, x_n\) が与えられているとする。その平均を \(\mu = n^{-1}\sum_{i=1}^n x_i\)、分散を \(\sigma = \left( n^{-1}\s...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P13]
5.1.問題135.1.P13\( \lVert \cdot \rVert \) を内積から導かれるノルムとする。次のフラフな証明の詳細を補って、フラフカの不等式を示せ：\lVert x + y \rVert + \lVert x + z ...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P12]
5.1.問題125.1.P12次の証明のスケッチを詳しく示しなさい。すなわち、平行四辺形恒等式 (5.1.9) が、ある実または複素ベクトル空間に与えられたノルムが内積から導かれるための十分条件であることを示す。まず、実数体 \(\math...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P11]
5.1.問題115.1.P11\(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであり、\(x, y \in V\) とする。このとき\|x+y\|^2 = \|x\|^...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P10]
5.1.問題105.1.P10(5.1.1) の公理 (1)（非負性）が公理 (2) と (3) から従うことを示せ。
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P9]
5.1.問題95.1.P9\(\|\cdot\|\) が内積から導かれるノルムとし、\(x, y \in V\)、かつ \(y \neq 0\) とする。このとき：(a) \(\|x - \alpha y\|\) を最小化するスカラー \(...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P8]
5.1.問題85.1.P8\(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであるとする。このときすべての \(x, y \in V\) に対して\|x+y\| \, \...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P7]
5.1.問題75.1.P7関数 \(\|x\|_1 = |x_1| + \cdots + |x_n|\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムであることを示せ。ただしこれは偏角恒等式 (5.1.10) を満たさないので、いかなる...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P6]
5.1.問題65.1.P6 \(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであるとする。このときすべての \(x,y \in V\) に対して\mathrm{Re}\...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P5]
5.1.問題55.1.P5関数 \(\|x\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|\) を \(\mathbb{C}^n\) 上で考える。これが内積から導かれないノルムであることを示せ。
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P4]
5.1.問題45.1.P4\(\|\cdot\|\) が内積から導かれるノルムであるとする。 (a) すべての \(x, y \in V\) に対して次の平行四辺形恒等式が成立することを示せ：\frac{1}{2} \left( \|x+y...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P3]
5.1.問題35.1.P3\(V\) の非零ベクトル \(x, y\) を与える。部分空間 \(\mathrm{span}\{x\}\) と \(\mathrm{span}\{y\}\) の間の角度 \(\theta\) を次で定義する：\...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P2]
5.1.問題25.1.P2\(\|\cdot\|\) が \(V\) 上の半ノルムであるとする。このとき \(V_0 = \{v \in V : \|v\| = 0\}\) が \(V\) の部分空間（\(\|\cdot\|\) の零空間と...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.P1]
5.1.問題1以下の各問題において、\(V\) は \(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間とする。1.P1\(e_i\) を \(\mathbb{F}^n\) における第 \(i\) 標...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1]問題集
5.1.問題集以下の各問題において、\(V\) は \(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間とする。5.1.P1 \(e_i\) を \(\mathbb{F}^n\) における第 \(i\...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.8]定理
定理 5.1.8定理 5.1.8. \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) を体 \(F\) （\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間 \(V\) における半...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.7]系
系 5.1.7系 5.1.7. 内積 \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) が実または複素ベクトル空間 \(V\) 上に与えられているとする。このとき、関数 \(\| \cdot \| : V \to [0, ...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.4]定理
5.1.4定理 5.1.4（コーシー–シュワルツの不等式）. 内積 \((\cdot , \cdot)\) が体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間 \(V\) に与えら...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.3]定義（内積）
5.1.3定義定義 5.1.3. \(V\) を体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間とする。写像\((\cdot, \cdot): V \times V \to F\)...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.2]補題
5.1.2補題補題 5.1.2. 実または複素ベクトル空間 \(V\) 上で、\( \lVert \cdot \rVert \) がベクトルの半ノルムであるならば、すべての \(x, y \in V\) に対して次が成り立つ：\lvert ...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1.1]定義（ベクトルノルム）
5.1.1実または複素ベクトル空間におけるノルムの4つの公理は次の通りである。定義 5.1.1 \(V\) を体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間とする。写像 \(\|...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.1]ノルムと内積の定義
5.1.目次5.1.1 定義5.1.2 補題5.1.3 定義5.1.4 定理5.1.7 系5.1.8 定理5.1 問題集5.1 ノルムと内積の定義実または複素ベクトル空間におけるノルムの4つの公理は次の通りである。
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.0]はじめに
5.0.はじめに5.0 序論ユークリッド長さ (0.6.1) は、\( \mathbb{R}^2 \) や \( \mathbb{R}^3 \) における「大きさ」や「近さ」のもっともよく知られた尺度である。実ベクトル \(x\) は、\(...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5]ベクトルと行列のノルム
5.ベクトルと行列のノルム目次5.0 はじめに (Introduction)5.1 ノルムおよび内積の定義 (Definitions of norms and inner products)5.2 ノルムおよび内積の例 (Examples ...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.6]注記
4.6.補足と参考文献共役相似（consimilarity）や (4.6.P4) の最後の文にある主張の証明について詳しく知りたい場合は、(4.5) の末尾で引用されている Hong と Horn の論文を参照せよ。(4.6.12) および...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.6.P28]
4.6.問題284.6.P28次の行列を考える：A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}これは実行列、複素行列、または四元数行列として扱うことができる。次を確認せよ：(a) \(A\...