0.6.2 直交性と直交正規性ベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が \( \langle x, y \rangle = 0 \) を満たすとき、直交しているといいます。2次元および3次元実空間では、これは幾何...

0.6.1 定義スカラー積 \( \langle x, y \rangle = y^* x \) は、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対するユークリッド内積（標準内積、通常の内積、スカラー積、ドット積）と呼ばれます...

0.6 ユークリッド内積とノルム0.6.1 定義0.6.2 直交性と直交正規性0.6.3 コーシー–シュワルツの不等式0.6.4 グラム–シュミット直交化法0.6.5 直交正規基底0.6.6 直交補空間

0.5 非特異性（Nonsingularity）線形変換または行列が、入力が 0 のときにのみ出力が 0 となる場合、それは 非特異 (nonsingular) であるといいます。それ以外の場合は 特異 (singular) です。もし \...

0.4.6 ランクの等式ランクに関する基本的な等式には、以下のようなものがあります：(a)もし \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) であれば、次が成り立ちます：\operatorname{rank}(A^*) =...

0.4.5 ランクの不等式ランクに関する基本的な不等式には、以下のようなものがあります：(a)もし \( A \in M_{m,n}(F) \) であれば、\operatorname{rank} A \leq \min\{m, n\}(b)...

0.4.4 ランクの特徴づけ行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) に関して、以下の記述は同値であり、状況に応じて使い分けられます。特に (b) と (c) は列または行の線形独立性に関わる重要なポイントです。ランク \( \o...

0.4.3 RREF とランク初等行操作は行列のランクを変えないため、\( A \) のランクは \( A \) の簡約階段行列（RREF）のランクと同じです。RREF のランクは非ゼロ行の数に等しいです。ただし、実務上、数値計算でRREF...

0.4.2 ランクと線形方程式系行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) とベクトル \( b \in F^n \) が与えられたとき、線形方程式系 \( Ax = b \) は解なし、ただ一つの解、または無限に多くの解を持ちます...

0.4.1 定義行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) に対し、ランク \( \operatorname{rank} A = \dim \operatorname{range} A \) は、\( A \) の列の中で最長の線形...

0.4 ランク（Rank）0.4.1 定義0.4.2 ランクと線形方程式系0.4.3 RREF とランク0.4.4 ランクの特徴づけ0.4.5 ランクの不等式0.4.6 ランクの等式

0.3.6 行列式の関数的特徴づけ（Functional characterization of the determinant）行列式を行（または列）のそれぞれを固定して他を変数とした関数と考えると、ラプラス展開（式 (0.3.1.1)）...

0.3.5 乗法性（Multiplicativity）行列式関数の重要な性質の一つに、乗法性があります。すなわち、任意の \( A, B \in M_n(F) \) に対して、以下が成り立ちます：\det(AB) = \det(A) \de...

0.3.3 基本的な行・列の操作（Elementary row and column operations）行列（正方行列でなくてもよい）に対して、3種類の単純かつ基本的な操作、すなわち 基本行・列操作 を用いて、線形方程式の解法、ランクの...

0.3.2 交代和と順列による定義\( \{1, \dots, n\} \) の順列とは、1対1写像 \( \sigma : \{1, \dots, n\} \to \{1, \dots, n\} \) のことです。恒等順列（identit...

0.3.1 小行列式によるラプラス展開（行または列に沿って）行列 \( A = \in M_n(F) \) に対して、行列式は次のように帰納的に定義することができます。まず、\( M_{n-1}(F) \) 上で行列式が定義されていると仮定...

0.3 行列式（Determinants）数学においては、多変量的な現象をひとつの数値で要約することが有用な場合がよくあります。行列式（determinant）はそのような関数の一例です。その定義域は \( M_n(F) \)（すなわち正方...

0.2.8 オールワン行列とベクトル\( F^n \) において、ベクトル \( e = e_1 + \cdots + e_n \) はすべての成分が 1 です。行列 \( J_n = e e^T \) はすべての成分が 1 であるような行...

0.2.7 行列の列空間と行空間行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) の像（range）は、その列空間（column space）とも呼ばれます。なぜなら、任意の \( x \in F^n \) に対して \( Ax \) は...

0.2.6 行列積のメタ力学的見方（Metamechanics）行列とベクトルの積、および行列どうしの積には通常の定義のほかにも、いくつかの有用な視点があります。行列 \( A \in M_{m,n}(F) \)、列ベクトル \( x \i...

0.2.5 転置、共役転置、トレース行列 \( A = \in M_{m,n}(F) \) に対して、転置行列 \( A^T \) は \( M_{n,m}(F) \) に属する行列であり、その \( i, j \) 成分は \( a_{j...

0.2.4 行列の演算行列の加法は、同じ次元の行列に対して成分ごとに定義され、「\( A + B \)」と書かれます。これは線形変換の加法に対応し、体の加法の可換性・結合性を受け継ぎます。全ての成分がゼロの行列（ゼロ行列）は加法単位元であり...

0.2.3 行列または線形変換に関連づけられるベクトル空間任意の \( n \) 次元ベクトル空間は \( \mathbb{F}^n \) と同型であるため、行列 \( A \in M_{m,n}(\mathbb{F}) \) は線形変換：...

0.2.2 線形変換体 \( \mathbb{F} \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間 \( U \) と \( m \) 次元ベクトル空間 \( V \) を考え、基底 \( B_U \) および \( B_V \) をそれぞれ...

0.2.1 長方形行列行列とは、体 \( \mathbb{F} \) 上のスカラーによる m 行 n 列 の配列です。特に \( m = n \) の場合、その行列は正方行列と呼ばれます。体 \( \mathbb{F} \) 上の全ての m...

0.2 行列（Matrices）ここで扱う基本的な対象は、以下の2つの重要な観点から捉えることができます。1つはスカラーの長方形配列として、もう1つは、各ベクトル空間に基底が指定されたうえでの線形変換としてです。0.2.1 長方形配列0.2...

0.1.8 同型写像（Isomorphism）\( U \) および \( V \) が同じスカラー体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間であり、関数 \( f : U \to V \) が次の性質を持つとします：\( f ...

0.1.7 次元ある正の整数 \( n \) が存在して、ベクトル空間 \( V \) のすべての基底がちょうど \( n \) 個の要素からなるとき、その \( n \) を \( V \) の次元（dimension）と呼び、記号 \(...

0.1.6 基底への拡張任意の線形独立なベクトル列は、何らかの方法（複数の場合もある）で \( V \) の基底に拡張できます。ベクトル空間の基底は有限とは限りません。たとえば、無限列 \( 1, t, t^2, t^3, \ldots \...