6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.1.5]ゲルシュゴリンの定理によるスペクトル半径の上界
6.1.5.系次の系（Corollary 6.1.5）は、行列のスペクトル半径とその要素の絶対値和との関係を示すものである。これは、行列のノルムと密接に関係している。もし \( A = \in M_n \) であるならば、次が成り立つ。\r...
6.固有値の位置と摂動 6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.1.3]ゲルシュゴリンの定理の系：行列の固有値の存在領域
6.1.3系本節では、ゲルシュゴリンの定理から導かれる系（Corollary 6.1.3）を示す。これにより、行列の固有値が複素平面上の特定の円盤（ゲルシュゴリン円）に必ず含まれることがわかる。定理より、行列 \( A = \in M_n ...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.1.1]ゲルシュゴリン円盤定理：固有値の位置に関する基準
6.1.1ゲルシュゴリン円盤定理：固有値の位置に関する基準次に示すのは行列の固有値がどこに存在しうるかを簡便に見積もるための古典的な定理である。行列の対角成分と非対角成分の大きさの関係から、容易に計算できる円盤が固有値を必ず含むことが保証さ...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.1]ゲルシュゴリン円盤
目次6.1.1 ゲルシュゴリン円盤定理：固有値の位置に関する基準6.1.3 ゲルシュゴリンの定理の系：行列の固有値の存在領域6.1.5 ゲルシュゴリンの定理によるスペクトル半径の上界6.1.6 系：重み付き円盤による固有値の精密な位置推定6...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.0]固有値の分布と摂動に対する安定性
6.0.固有値の分布と摂動に対する安定性対角行列の固有値は非常に簡単に求められる。また、行列の固有値はその要素の連続関数であるため、行列が「ほぼ対角行列」である場合、すなわち非対角成分が主対角成分に比べて小さい場合に、固有値について有用な情...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6]固有値の位置と摂動 (Location and Perturbation of Eigenvalues)
6.固有値の位置と摂動目次6.0 はじめに (Introduction)6.1 ゲルシュゴリン円盤 (Gershgorin discs)6.2 ゲルシュゴリン円盤 - 詳細な解析 (Gershgorin discs – a closer l...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8]注記
5.8.参考文献：連立方程式解の誤差に関する事前評価（a priori bound）やその他の結果については、Stewart (1973) など数値線形代数の文献を参照してください。
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P14]
5.8.問題145.8.P14フロベニウスの同伴行列 \(C(p)\)（参照 (3.3.12)）について、スペクトルノルムに関する条件数が次の形で与えられることを示しなさい：\kappa(C(p)) = s+1+\frac{\sqrt{(s...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P13]
5.8.問題135.8.P13参照 (5.6.P47–P51)。正則 \(A\in M_n\) と行列ノルム \(\|\cdot\|\) に対して、もし \(\|\cdot\|\) が誘導ノルムならば\kappa(A)=\frac{\|A\...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P12]
5.8.問題125.8.P12\(A=\in M_n\) を対角成分 \(a_{ii}\ne 0\) を持つ上三角行列とする。最大行和ノルムに関して、次の下界を示しなさい：\kappa(A)\ge \frac{\|A\|_\infty}{\...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P11]
5.8.問題115.8.P11任意の正則 \(A\in M_n\) に対し、任意の特異行列 \(B\) について（任意ノルムで）不等式\kappa(A)\ge \frac{\|A\|}{\|A-B\|}を示しなさい。これは与えられた行列 \...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P10]
5.8.問題105.8.P10スペクトルノルムを用いると、任意の \(A\) について\kappa(A^*A)=\kappa(AA^*)=\kappa(A)^2を示しなさい。また、このことから \(A^*A x=y\) を解く問題が \(A...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P9]
5.8.問題95.8.P9有名な悪条件行列の例にヒルベルト行列 \(H_n\) がある（参照 0.9.12）。\(H_n\) は正規なのでスペクトルノルムに関する条件数は \(\kappa(H_n)=\rho(H_n)\rho(H_n^{-...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P8]
5.8.問題85.8.P8問題 (5.8.P3) の行列 \(B_\varepsilon\) に対し線形系 \(B_\varepsilon x=^T\) を考え、真解 \(x=^T\) と近似解\hat{x}=\begin{pmatrix}...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P7]
5.8.問題75.8.P7行列式 \(\det A\) が小さい（または大きい）とき、必ずしも \(\kappa(A)\) は大きくならなければならないかを論じなさい。解説メモ：\(\det A\) の大小と条件数の大小には直接単純な一致は...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P6]
5.8.問題65.8.P6行列ノルム \(\|\cdot\|\) がベクトルノルムに誘導される（induced）場合、正則 \(A\) に対して次を示しなさい。\kappa(A)=\frac{\max\{\|Ax\|:\|x\|=1\}}{...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P5]
5.8.問題55.8.P5逆行列の条件数は用いるノルムによって異なるが、すべての条件数は同値であることを示しなさい。すなわち、\(\kappa_\alpha(A)=\|A^{-1}\|_\alpha\|A\|_\alpha\) と \(\k...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P4]
5.8.問題45.8.P4任意の正則 \(A\in M_n\) と任意の行列ノルムについて、\(\kappa(A)\ge \rho(A)\,\rho(A^{-1})\) を示しなさい。したがって、最大・最小絶対固有値の比が大きければ \(A...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P3]
5.8.問題35.8.P3行列B_\varepsilon=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1 & -1-\varepsilon\end{pmatrix},\quad \varepsilon>0について固有値と逆行列を計算し、...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P2]
5.8.問題25.8.P2正規行列A_\varepsilon=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 1+\varepsilon\end{pmatrix},\quad \varepsilon>0の固有値と逆行列を計算し、\...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8.P1]
5.8.問題15.8.P1\(A \in M_n\) が正則かつ正規行列であるとする。スペクトルノルムに関して逆行列の条件数がなぜ \( \kappa(A)=\rho(A)\,\rho(A^{-1}) \) になるかを説明しなさい。解説メモ...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8]問題集
5.8.問題集5.8.P1 \(A \in M_n\) が正則かつ正規行列であるとする。スペクトルノルムに関して逆行列の条件数がなぜ \( \kappa(A)=\rho(A)\,\rho(A^{-1}) \) になるかを説明しなさい。解説メ...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.8]条件数：逆行列と線形方程式系
5.8 条件数：逆行列と線形方程式系この節では、行列およびベクトルのノルムの応用として、行列の逆行列や線形方程式系の解を数値的に求めた際に発生する誤差の上限を評価する問題を考えます。非特異な行列 \(A \in M_n\) の逆行列をデジタ...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.7.P26]
5.7.問題265.7.P26数値半径は、全ての \(A \in M_n\) および \(m = 1, 2, \dots\) に対してべき不等式 \(r(A^m) \le r(A)^m\) を満たしますが、べき積不等式r(A^{k+m}) ...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.7.P25]
5.7.問題255.7.P25数値半径 \(r(\cdot)\) はスペクトル支配的であり、弱いべき不等式 (5.7.20a) を満たします。この問題の目的は、実際には全ての \(m = 1, 2, \dots\) および全ての \(A \...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.7.P24]
5.7.問題245.7.P24数値半径は、自然な近似問題に関連します。任意の \(A \in M_n\) に対して、ランク1エルミート行列のスカラー倍でフロベニウスノルムにおける最小二乗近似を行う場合を考えます。\(c \in \mathb...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.7.P23]
5.7.問題235.7.P23\(x \in \mathbb{C}^n\) と \(X = x x^\ast\) （エルミートのランク1行列）のとき、次が成り立つことを示します：\|X\|_2 = \|x\|_2^2さらに、\(A \in ...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.7.P22]
5.7.問題225.7.P22不等式 (5.7.21) および (5.6.P23) の\frac{1}{\sqrt{n}} \|A\|_2 \le \|A\|_2 \le \|A\|_2から、次が成り立つことを導きます：\frac{1}{2...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.7.P21]
5.7.問題215.7.P21不等式 (5.7.21) および (5.7.11) を用いて、\(4 r(\cdot)\) が \(M_n\) 上の行列ノルムであることを示します。行列 \(A = J_2(0)\)、\(A^\ast\)、およ...
5.ベクトルと行列のノルム [行列解析5.7.P20]
5.7.問題205.7.P20 行列集合 \(M_n\) 上の数値半径関数 \(r(\cdot)\) に関する次の主張を証明します：(a) \(r(\cdot)\) はユニタリ不変ではありませんが、ユニタリ相似不変です：\(U \in M_...