7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1]問題集
問題 7.1.P1 \( A = \in M_n \) が半正定値であるとする。すべての異なる \( i, j \in \{1, \dots, n\} \) に対して、なぜ次が成り立つのかを説明せよ。a_{ii} a_{jj} \ge |a...
7.正定値および半正定値行列 
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.14]観察：半正定値行列の基本的な性質(零行列との関係)
7.1.14.半正定値行列の基本的な性質：零行列との関係次の観察結果は、半正定値行列に関して「和が零行列となる条件」と「階数が正である条件」を示している。観察 7.1.14. \( A, B \in M_n \) が半正定値であるとする。こ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.13]系：半正定値エルミート部分をもつ行列の性質（行と列の包含性）
7.1.13.半正定値エルミート部分をもつ行列の性質（行と列の包含性）次の系は、行列のエルミート部分が正定値である場合に、その行列が特定の包含性をもつことを示している。系 7.1.13. \( A \in M_n \) のエルミート部分 \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.12]観察：半正定値なエルミート部分をもつ行列の包含性と階数条件
7.1.12.半正定値なエルミート部分をもつ行列の包含性と階数条件観察 7.1.12. \( A \in M_n \) が半正定値なエルミート部分 \( H(A) \) をもつとする。もし\( \operatorname{rank}(A) ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.11]補題：半正定値なエルミート部分をもつ行列の階数と零空間
7.1.11.半正定値なエルミート部分をもつ行列の階数と零空間補題 7.1.11. \( A \in M_n \) のエルミート部分が半正定値であるとする。すなわち、H(A) = \tfrac{1}{2}(A + A^*)である。このとき次...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.10]観察：半正定値行列の行と列の包含性
7.1.10.半正定値行列の行と列の包含性観察 7.1.10. すべての半正定値行列は、行および列の包含性をもつ。特に、もし \( A = \) が半正定値であり、ある \( k \in \{1, \ldots, n\} \) に対して \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.9]観察：半正定値行列と列包含・行包含の性質
7.1.9.観察：半正定値行列と列包含・行包含の性質観察 7.1.9 \( A \in M_n \) をエルミート行列とする。このとき、次が成り立つ。\( A \) が半正定値であることと、正定値行列の数列 \( A_1, A_2, \ld...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.8]観察：半正定値行列と正定値行列における合同変換の性質
7.1.18観察：半正定値行列と正定値行列における合同変換の性質観察 7.1.8 \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、\( C \in M_{n,m} \) とする。(a) \( A \) が半正定値であると仮定する。この...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.7]系：半正定値行列と正定値行列の関係
7.1.17系：半正定値行列と正定値行列の関係系 7.1.7 半正定値行列が正則であることと、それが正定値であることは同値である。証明\( A \in M_n \) が半正定値行列であると仮定する。前の系より、次の命題は互いに同値であること...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.6]観察：半正定値行列におけるゼロ二次形式と零化条件
7.1.6 半正定値行列におけるゼロ二次形式と零化条件観察 7.1.6. \( A \in M_n \) を半正定値行列、\( x \in \mathbb{C}^n \) を任意のベクトルとする。このとき、\( x^{*} A x = 0 ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.5]系：正定値・半正定値行列のトレース・行列式・主小行列式の性質
7.1.5 半正定値および正定値行列の固有値・行列式・小行列式の符号系 7.1.5. \( A \in M_n \) が半正定値（それぞれ正定値）行列であるとする。このとき、\(\mathrm{tr}\,A\)、\(\det A\)、および...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.4]観察：正定値・半正定値行列の固有値の性質
7.1.4 正定値・半正定値行列の固有値の性質観察 7.1.4. 正定値（それぞれ半正定値）行列の各固有値は正（それぞれ非負）の実数である。証明半正定値行列 \( A \) の固有値・固有ベクトルの組を \( (\lambda, x) \)...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.3]観察：正定値・半正定値行列の線形結合に関する性質
7.1.3 正定値・半正定値行列の線形結合に関する性質次の観察は、半正定値行列や正定値行列を非負の実数で線形結合したとき、その性質が保持されることを示している。観察 7.1.3\( A_1, A_2, \ldots, A_k \in M_n...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1.2]観察：正定値・半正定値行列の主小行列に関する性質
7.1.2 正定値・半正定値行列の主小行列に関する性質次の観察は、エルミート行列における正定値性や半正定値性が、その主小行列（principal submatrix）にも引き継がれることを示している。観察 7.1.2\( A \in M_n...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.1]正定値と半正定値の定義と性質
目次7.1.2 観察：正定値・半正定値行列の主小行列に関する性質7.1.3 観察：正定値・半正定値行列の線形結合に関する性質7.1.4 観察：正定値・半正定値行列の固有値の性質7.1.5 系：正定値・半正定値行列のトレース・行列式・主小行列...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0]注記
参考文献実対称正定値行列に関する短い概説としては、以下の文献がある。C. R. Johnson, “Positive definite matrices,” Amer. Math. Monthly, 77 (1970), 259–264.正...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.P3]
7.0.問題37.0.P3 三重対角行列 \(A\) の性質式 (7.0.5.1) における行列 \(A\) が常に既約（irreducible）であることを示せ。また、関数 \(\sigma\) が非負である場合、\(A\) が既約な対角...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.P2]
7.0.問題27.0.P2 ハンケル行列とテプリッツ行列の対角線構造ハンケル行列においてどの対角線が一定であるかを示すスケッチを描け。同様に、テプリッツ行列の場合もスケッチを描け。
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.P1]
7.0.問題17.0.P1 非負関数によって生成される数列に関する二次形式もし数列 \( a_k \) が、非負関数 \( f \) によって次の式a_k = \int_0^1 x^k f(x)\,dxで生成されるならば、次の二つの二次形式...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0]問題集
7.0.問題集ここでは、第7章の導入で述べた「正の性質をもつエルミート行列」に関連する演習問題と、より深い学習のための参考文献を示す。7.0.P1 非負関数によって生成される数列に関する二次形式もし数列 \( a_k \) が、非負関数 \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.5]微分方程式の数値解における離散化と差分スキーム
7.0.5 次のような2点境界値問題を考える。- y''(x) + \sigma(x) y(x) = f(x), \quad 0 \le x \le 1y(0) = \alpha, \quad y(1) = \betaここで、\(\alph...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.4]非負関数の三角モーメント
7.0.4 非負関数の三角モーメント\( f \) を区間 \(\) 上の実数値・絶対可積分関数とし、次の値を考える。a_k = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{ik\theta} f(\theta)\,...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.3]非負関数の代数モーメント
7.0.3区間 \(\) 上で絶対可積分な実数値関数 \( f \) を考える。このとき、次の数列を定義する。a_k = \int_{0}^{1} x^{k} f(x) \, dx数列 \( a_0, a_1, a_2, \ldots \)...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.2]共分散行列（Covariance Matrices）
7.0.2実または複素の確率変数 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) が、有限の2次モーメントをもつ確率空間上で定義されているとする。このとき、期待値作用素を \( E \) とし、各確率変数の平均を \( \mu_i ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.1]ヘッセ行列、最小化、および凸性
7.0.1.ヘッセ行列、最小化、および凸性滑らかな実数値関数 \( f \) を、ある領域 \( D \subset \mathbb{R}^n \) 上で考える。もし \( y = \) が \( D \) の内部点であるなら、テイラーの定...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0]はじめに
目次7.0.1 ヘッセ行列、最小化、および凸性7.0.2 共分散行列（Covariance Matrices）7.0.3 非負関数の代数モーメント7.0.4 非負関数の三角モーメント7.0.5 微分方程式の数値解における離散化と差分スキーム...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7]正定値および半正定値行列
7 正定値および半正定値行列 (Positive Definite and Semidefinite Matrices)目次7.0 はじめに (Introduction)7.1 定義と性質 (Definitions and properti...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4]注記
6.4.補足と参考文献：固有値包含集合と関連定理固有値の包含集合に関する詳細および原論文への多くの参照については、R. Brualdi の論文「Matrices, eigenvalues, and directed graphs」（Line...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P8]
6.4.問題8問題 6.4.P8ブラウアー集合 (6.4.8) は (6.2.8) に示されたような境界固有値性を一般には持たないが、その部分集合の中には同様の性質をもつものが存在する。すなわち、\( A = \in M_n \) が非可約...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P7]
6.4.問題7問題 6.4.P7\( A = \in M_n \) で、すべての \( i = 1, \ldots, n \) について \( a_{ii} = 0 \) であるとする。\( A \) の各行の絶対値の和（対角要素を除く）を...