2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.2]ユニタリ相似
2.2 ユニタリ相似（Unitary similarity）ユニタリ行列 \(U\) に対しては \(U^{*} = U^{-1}\) が成り立つので、変換 \(A \mapsto U^{*}AU\) は相似変換である。この特別な種類の相似...
行列
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p29]
2.1.問題292.1.問題29任意の実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) は次のように分解できる理由を説明してください：Q = U_1 \cdots U_N D\quad(N = n(n-1)/2)ここで、各...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p28]
2.1.問題282.1.問題28実行列 \( A \in M_{n,m}(\mathbb{R}) \) （\( n \geq m \)）について：(a) 有限個の平面回転行列 \( U_1, \ldots, U_N \) を構成し、U_N ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p27]
2.1.問題272.1.問題27自然数 \( n \geq 2 \) とベクトル \( x = \in \mathbb{R}^n \) を考えます。\( x_n = x_{n-1} = 0 \) ならば \(\theta_1 = 0\) と...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p26]
2.1.問題262.1.問題26(a) 任意の行列 \( A \in M_n \) は、ハウスホルダー行列 \( H_1, \ldots, H_{n-1} \) と上三角行列 \( R \) を用いて、次のように分解できることを説明してくだ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p25]
2.1.問題252.1.問題25ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と整数 \( r \in \{1, \ldots, n\} \) に対し、複合行列（compound matrix） \( C_r(U) \) がユニタリである理...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p24]
2.1.問題242.1.問題24行列 \( E = \in M_3 \) を考えます。ここで各成分 \( e_{ij} = +1 \) です。(a) 行列 \( E \) のパーマネント（permanent）を計算し、\(\mathrm{p...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p23]
2.1.問題232.1.問題23\( A \in M_n \) を QR 分解し、\( A = QR \)、かつ列に分割して \( A = \)、\( Q = \)、\( R = \)、さらに \( R = \) とする。以下を説明せよ：\...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p22]
2.1.問題222.1.問題22\( X, Y \in M_{n,m} \) が直交な列を持つ行列であるとする。次を示せ：\( X \) と \( Y \) の列空間が一致する ⇔ \( X = YU \) を満たすユニタリ行列 \( U ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p21]
2.1.問題212.1.問題21式 (2.1.10) において、「ユニタリ」を「複素直交」に置き換えても成立することを説明せよ。また、複素直交行列が上三角行列である ⇔ 対角行列であることを示せ。そのような対角複素直交行列はどのような形をし...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p20]
2.1.問題202.1.問題20\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、余因子行列（adjugate）について次を示せ：\mathrm{adj}(U) = (\det U) U^*よって \( \mathrm{adj}(U) ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p19]
2.1.問題192.1.問題19\( X = \in M_{n,m} \)、\(\mathrm{rank}(X) = m\)、かつ QR分解 \( X = QR \) をもつとする。\( Y = QR^{-∗} = \) と定義する：\( ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p18]
2.1.問題182.1.問題18\( A \in M_n \) を \( A = QR \) と分解し、列ごとに \( A = \)、\( Q = \)、\( R = _{i,j=1}^n \) とする。各 \( k = 1, \dots,...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p17]
2.1.問題172.1.問題17\( A \in M_{n,m} \)、\( n \geq m \)、かつ \(\mathrm{rank}(A) = m \) とする。このとき、A の列に左から右へとグラム–シュミット法を適用する手順を記述...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p16]
2.1.問題162.1.問題16\( x, y \in \mathbb{R}^n \) が与えられた一次独立な単位ベクトルとし、\( w = x + y \) と定義する。Palais 行列 \( P_{x,y} \) を次のように定義する...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p15]
2.1.問題152.1.問題15\( U \in M_n \) がユニタリで、\( \alpha \subset \{1, \dots, n\} \)、かつ \( U = 0 \)（0.7.1）であるとき、以下を示せ：\( U = 0 \)...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p14]
2.1.問題142.1.問題14\( M_n \) におけるユニタリ行列の群と、複素直交行列の群の交差が、実直交行列の群であることを示せ。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p13]
2.1.問題132.1.問題13\( \mathrm{diag}(2, \tfrac{1}{2}) \in M_2 \) を考える。ユニタリ行列と相似な行列の集合が、\( A^{-1} \) が \( A^* \) と相似であるようなすべて...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p12]
2.1.問題122.1.問題12\( A \in M_n \) があるユニタリ行列と相似であるならば、\( A^{-1} \) は \( A^* \) と相似であることを示せ。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p11]
2.1.問題112.1.問題11正則行列 \( A \in M_n \) が斜直交行列（skew orthogonal）であるとは、\( A^{-1} = -A^T \) が成り立つときである。以下を示せ：\( A \) が斜直交 ⇔ \(...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p10]
2.1.問題102.1.問題10\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して、\( x \) と \( y \) が直交している ⇔ \( Ux \) と \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p9]
2.1.問題92.1.問題9\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、\( \overline{U}, U^T, U^* \) もすべてユニタリであることを示せ。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p8]
2.1.問題82.1.問題8\( A \in M_n \) が複素直交行列とは \( A^T A = I \) を満たすときである。複素直交行列がユニタリであるための必要十分条件は、それが実行列であることであることを示せ。\( S =\be...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p7]
2.1.問題72.1.問題7\( A, B \in M_n \)、かつ \( AB = I \) と仮定する。このとき \( BA = I \) を導く議論を詳細に示せ：任意の \( y \in \mathbb{C}^n \) は \( y...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p6]
2.1.問題62.1.問題63×3直交群のパラメトリックな表示を与えよ。2×2直交群の2つの表示は (2.1.5) に続く演習に示されている。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p5]
2.1.問題52.1.問題5\( M_n \) における置換行列（0.9.5）が実直交行列の群の部分群（つまり自分自身が群となる部分集合）であることを示せ。\( M_n \) における異なる置換行列は何通りあるか？
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p4]
2.1.問題42.1.P4 対角実直交行列の特徴づけを与えよ。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p3]
2.1.問題32.1.P3 実パラメータ \(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n\) が与えられたとき、U = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p2]
2.1.問題22.1.P2 \(U \in M_n\) をユニタリ行列とし、\(\lambda\) を \(U\) の固有値とする。このとき次を示せ。 (a) \(|\lambda| = 1\)。 (b) ベクトル \(x\) が \(\l...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p1]
2.1.問題12.1.P1 もし \(U \in M_n\) がユニタリであるならば、\(|\det U| = 1\) を示せ。