7.正定値および半正定値行列

7.3.問題257.3.P25\( A = \in M_n \) およびユニタリ行列 \( U \in M_n \) とする。(a) 次を示せ：|\mathrm{tr}(UA)| \le \sum_{i,j} |a_{ij}|(b) 次を示...

7.3.問題247.3.P24　\( A, B \in M_{m,n} \) について、次の条件は同値であることを示せ：A \text{ と } B \text{ はユニタリ等価 } \\\iff \\\begin{bmatrix} 0 &...

7.3.問題237.3.P23　\( A, B \in M_n \) とする。(a) \( AA^{*} = BB^{*} \) であることと、ユニタリ行列 \( U \) が存在して \( A = BU \) となることは同値であることを...

7.3.問題227.3.P22\( A, B \in M_{m,n} \) がユニタリ等価であることと、次の条件は同値であることを示せ：\mathrm{tr}\big((A^{*}A)^k\big) = \mathrm{tr}\big((B...

7.3.問題217.3.P21　式 (7.3.15) を用いて、行列への「小さい」摂動がそのランクを減少させることはできないが、増加させることはあり得る理由を説明せよ。「小さい」とはどの程度かも考察せよ。

7.3.問題207.3.P20　\( A \in M_{m,n} \) とし、行列 (7.3.4) を用いる。\( v \in \mathbb{C}^{n} \) で \( Av \neq 0 \) とする。次を定義する：u = \frac...

7.3.問題197.3.P19　\( A, B \in M_n \) とする。(a) \( AB \) と \( BA \) は固有値を共有するが、行列\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, ...

7.3.問題187.3.P18　不等式 (7.3.17) の場合 k = n は、既存の道具を用いて、積の不等式 (7.3.16) に頼らずに扱うことができる。前問の表記を採用して詳細を示せ。(a) \( A = U T U^{*} \) ...

7.3.問題177.3.P17　\( A \in M_{n} \) の固有値を絶対値の大きい順に並べて \( |\lambda_{1}(A)| \ge \cdots \ge |\lambda_{n}(A)| \) とする。(a) H. We...

7.3.問題167.3.P16　\( A, B \in M_{m,n} \) とする。特異値に関する基本的不等式として次が成り立つ：\sigma_{i+j-1}(A + B) \le \sigma_{i}(A) + \sigma_{j}(B...

7.3.問題157.3.P15　\( A \in M_{m,n} \) とする。このとき次を示せ：A^{\dagger} = \lim_{t \to 0} \left( A^{*}(A A^{*} + tI)^{-1} \right).

7.3.問題147.3.P14　\( A \in M_{n} \) とする。\( A \) が相似変換により対角化可能であることと、正定値エルミート行列 \( P \) が存在して \( P^{-1} A P \) が正規行列となることは同...

7.3.問題137.3.P13　極分解（polar decomposition）(7.3.1) から特異値分解 (2.6.3) を導出せよ。

7.3.問題127.3.P12　\( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{p,n} \) とし、C = \begin{bmatrix}A \\B\end{bmatrix}\in M_{m+p,n}とおく。\( \ope...

以下では、特異値分解（Singular Value Decomposition; SVD）および関連する性質や不等式についての演習問題を扱う。7.3.問題117.3.P11　\( A \in M_{m,n} \) とする。次を示せ：\sig...

7.3.問題7.3.P10　\( A \in M_{m,n} \) の特異値分解 \( A = V \Sigma W^{*} \) に対して、\( r = \mathrm{rank}(A) \) とする。このとき次を示せ： (a) \( W...

7.3.問題97.3.P9　線形方程式 \( A x = b \) の最小二乗解とは、\( \|x\|_2 \) が最小で、かつ \( \|A x - b\|_2 \) が最小となるようなベクトル \( x \) のことである。\( x =...

7.3.問題87.3.P8　本問題は (7.1.P28) の続きであり、同じ記号を用いる。(a) 前問の恒等式 (a)–(c) を用いて、\( C = BX \) を満たす任意の \( X \) に対してX^{*} B X = C^{*} ...

7.3.問題77.3.P7　\( A \in M_{m,n} \) とし、特異値分解 \( A = V \Sigma W^{*} \) をもつとする。次のように定める：A^{\dagger} = W \Sigma^{\dagger} V^{...

7.3.問題67.3.P6　\( B \in M_n(\mathbb{R}) \) とし、任意の \( t \in \mathbb{R} \) に対してA(t) = \begin{bmatrix}B & x \\y^{*} & t\end{...

7.3.問題57.3.P5　\( A, E \in M_{m,n} \)、\( k \in \{1, \ldots, q\} \) とする。ここで、\( \sigma_k \) は \( A \) の単純な非零特異値であり、単位特異ベクトル...

7.3.問題47.3.P4　\( A \in M_{m,n} \) とし、次のような特異値分解をもつとする：A = V \Sigma W^{*}ここで、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \...

7.3.問題37.3.P3　\( A \in M_n \) が零の特異値をもつことと、零の固有値をもつことが同値であることを示せ。

7.3.問題27.3.P2　\( A, B \in M_n \) とする。極分解 \( A = P_1U_1 \)、\( B = P_2U_2 \) が与えられているとき、\( A \) と \( B \) がユニタリ同値であるのは、\( ...

7.3.問題1次の問題では、\( X \in M_{m,n} \) に対して、\( \sigma_1(X) \ge \cdots \ge \sigma_q(X) \) を \( X \) の特異値（大きい順に並んだもの）とし、\( q = ...

7.3.11定理：同じ自己随伴積をもつ行列の関係\( n, p, q \) を正の整数とし、\( p \le q \) とする。 \( A \in M_{p,n} \)、\( B \in M_{q,n} \) とする。 このとき、次の条件は...

7.3.8定理：特異値の最小最大表現（Courant–Fischer型定理）\( A \in M_{n,m} \) とし、\( q = \min\{n, m\} \) とする。 さらに、\( A \) の特異値を \( \sigma_1(A...

7.3.6補題：行または列を削除した行列の特異値の交錯\( A \in M_{n,m} \) とし、 \( q = \min\{m, n\} \) とする。行列 \( \hat{A} \) を、\( A \) の任意の1つの列または行を削除...

7.3.5系：特異値の摂動不等式\(A, B \in M_{n,m}\) とし、\(q=\min\{m,n\}\) とする。\(A\) の特異値を降順に並べて \(\sigma_1(A)\ge\cdots\ge\sigma_q(A)\)、\...