7.正定値および半正定値行列

7.4.4 単位行列のスカラー倍による最良近似ここでは、与えられた行列 \( A \in M_n \) を単位行列のスカラー倍で最もよく近似する（最小二乗誤差の意味で）方法について考える。式 (7.4.1.3a) を用いると、任意のユニタリ...

7.4.3 最小二乗法による線形方程式の解\( A \in M_{m,n} \)、\( b \in \mathbb{C}^m \) が与えられており、\( m \ge n \) であり、かつ \(\mathrm{rank}\,A = k\)...

7.4.2 最も近い特異行列と最も近いランク\(k\)行列任意の非特異行列 \(A\) に十分近い行列（あるノルムに関して）は非特異である（式 (5.6.17) の前の演習を参照）。しかし、\(A\) から特異行列全体の閉集合までの距離につ...

7.4.1.5　系：特異値と半正定値性に関する結果行列 \(A, B \in M_{m,n}\) とし、\( q = \min\{m, n\} \) とおく。さらに、\(A\) および \(B\) の特異値をそれぞれ非増加順に並べて、\(\...

定理 7.4.1.4（半正定値行列におけるトレースの等号条件）行列 \( A = \in M_{m,n} \) とし、\( q = \min\{m, n\} \)、\( p = \max\{m, n\} \)、\( \alpha = \{1...

系 7.4.1.3（特異値に関する不等式と等式条件）\( A, B \in M_{m,n} \) とし、\( q = \min\{m, n\} \) とする。また、\( A \) と \( B \) の特異値をそれぞれ非増加順に並べたものを...

7.4.1.1 フォン・ノイマンの定理（von Neumann’s trace theorem）定理 7.4.1.1（フォン・ノイマン） 次の条件を満たすとする。\( A, B \in M_{m,n} \)、また \( q = \min\{...

7.4.1 フォン・ノイマンのトレース定理（von Neumann’s trace theorem）次に示す特異値に関する不等式は、多くの行列近似問題において重要な役割を果たすものである。7.4.1.1　フォン・ノイマンの定理7.4.1.3...

参考文献・補足　(7.3.3) の実行列の場合は、C. Jordan により 1874 年に公表された。いくつかの著者は (7.3.4) におけるエルミート行列を Wielandt 行列と呼ぶ。(7.3.14) の追加応用例および歴史的概観...

7.3.問題457.3.P45\( A, B \in M_n \) とする。次の主張を示せ：\( A \) は \( B \) にユニタリ相似であるのは、非特異行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A = SBS^{-1}...

7.3.問題447.3.P44\( A \in M_{m,n} \) とし、\( \hat{A} \in M_{r,s} \) を \( A \) の一部の行や列を削除して得られる部分行列とする。\( p = m - r + n - s \...

7.3.問題7.3.P43\( \| \cdot \| \) を \( M_n \) 上のユニタリ不変ノルムとする。もし \( A, B \in M_n \)、\( A \) が正規行列、\( B \) がエルミート行列であるなら、次を示せ...

7.3.問題427.3.P42　\( A \in M_{m,n} \) とし、\( q = \min\{m,n\} \)、さらにA = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M_{...

7.3.問題417.3.P41　\( A, B \in M_n \) を正規行列とする。\( A \) が \( B \) に ∗合同であるのは、かつそのときに限り、rank \( A = \) rank \( B \) であり、複素平面上...

7.3.問題407.3.P40　\( A \in M_n \) が rank \( A = r \) で、対角行列 \( D = \Lambda \oplus 0_{n-r} \) および \( E = M \oplus 0_{n-r} \...

7.3.問題397.3.P39　\( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_r) \) および \( M = \mathrm{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_...

7.3.問題387.3.P38\( V, W \in M_n \) がユニタリかつ ∗合同：\( V = SBS^* \) とする。\( S = PU \) が極分解である場合、\( V \) と \( W \) は \( U \) を用い...

7.3.問題377.3.P37\( A, B \in M_n \) がエルミートで相似：\( A = SBS^{-1} \) とする。\( S = UQ \) が極分解である場合、\( A \) と \( B \) はユニタリ相似であること...

7.3.問題367.3.P36\( A \in M_n \) が正規で、その特異値がすべて異なるとする。(a) \(A\)の固有値について何が言えるか。(b) \(A^∗A\)が実数ならば、\(A\)が対称分布であることを示せ。

7.3.問題357.3.P35\( A \in M_n \) で極分解 \( A = PU \) を持つとする。\( A \) が正規であることと \( PU = UP \) が成立することは同値であることを示せ。

7.3.問題347.3.P34　(7.2.9) で QR 分解から Cholesky 分解を導出した。同様に (7.3.12) を用いて、Cholesky 分解から QR 分解を導出せよ。

7.3.問題337.3.P33　\( A \in M_{n,m} \) で \( n \ge m \) とし、\( P = (A^* A)^{1/2} = W \Sigma W^* \in M_m \) とする。(7.3.1) を用いて、正...

7.3.問題327.3.P32　\( A \in M_{n,m} \) で rank \( A = r \) とする。(a) 7.3.2(a) の thin 特異値分解を用いて、次の形で full-rank 分解を与えよ：A = X Y^*...

7.3.問題317.3.P31　\( A \in M_n \) がユニタリ行列のスカラー倍であるのは、かつそのときに限り、特異値がすべて等しい（\( \sigma_1 = \cdots = \sigma_n \)）ことを示せ。

7.3.問題307.3.P30\( A \in M_n \) が非特異行列の場合、なぜ \( A^{-1} \) の特異値は次のように順序付けられるのか説明せよ：\sigma_n^{-1} \ge \cdots \ge \sigma_1^{...

7.3.問題297.3.P29　前の二つの問題を用いて、次の行列の左・右極分解を計算せよ：A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}解答例次の行列について、左極分解と右極分解を求める。...

7.3.問題287.3.P28　\( A \in M_2 \) が非零、任意の実数 \( \theta \) で \( \det A = e^{i\theta} |\det A| \) とする。次を定義する：Z_\theta = A + e...

7.3.問題277.3.P27　\( A \in M_2 \) が非零とし、極分解 \( A = PU \) および \( A = VQ \) が存在するとする。ここで \( P, Q \) は半正定値（かつ一意に決定される）である。次を定...

7.3.問題267.3.P26　\( A \in M_2 \) がエルミートかつ半正定値、非零であるとする。\( \tau = \sqrt{\mathrm{tr} A + 2\sqrt{\det A}} \) とする。(a) 次を示せ：A^...