7.正定値および半正定値行列

7.4.問題137.4.P13エルミート行列への距離と自己共役ノルム任意の複素数 \( z \) と実数 \( x \) に対して、次の不等式が成り立つ：|z - \operatorname{Re} z| \le |z - x|.これを行列...

7.4.問題127.4.P12ランク1行列におけるユニタリ不変ノルムの比\( N_1(\cdot) \)、\( N_2(\cdot) \) を \( M_{m,n} \) 上のユニタリ不変ノルムとする。このとき、次の関数を考える：f(A) ...

7.4.問題117.4.P11Berenstein–Veinstein不等式とBergström不等式の同値性\( A \in M_n \) が正定値行列であり、\( x, y \in \mathbb{C}^n \)、\( \alpha, ...

7.4.問題107.4.P10\( x, y \in \mathbb{C}^n \) を零でないベクトルとし、\( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。(a) 次を示せ：|x^* y|^2 \le (x^* A x)(y^*...

7.4.問題97.4.P9\(\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta_1, \ldots, \beta_n\) を正の実数とする（順序は問わない）。次の不等式が知られている：\sum_{i=1}^n \alpha...

7.4.問題87.4.P8\( A \in M_n \) を正定値行列とし、その固有値が区間 \(\) に含まれると仮定する（ただし \( 0 \lt m \lt M \lt \infty \)）。このとき次が成り立つことを示せ：(x^* ...

7.4.問題77.4.P7\( A \in M_n \) が正則でエルミート行列であり、スペクトル条件数を \( \kappa \) とする。このとき次が成り立つことを示せ：\max_{\|x\|=1} (\|A x\|_2 \, \|A^...

7.4.問題67.4.P6\( A \) を正定値行列とし、そのスペクトル条件数を \( \kappa \) とする。このとき、カントロヴィッチ不等式およびワイラント不等式はそれぞれ次の形で表される：(4.7.12.16)(x^* A x)...

7.4.問題57.4.P5\( A \in M_n \) が正則行列であり、そのスペクトル条件数を \( \kappa \) とする。極分解およびカントロヴィッチ不等式を用いて、次を示せ：(7.4.12.15)|(x^* A x)(x^* ...

7.4.問題47.4.P4固有値条件数と角度の幾何学的解釈\( A \in M_n \) が正定値行列で、固有値が \( 0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n \) であるとする。また、\( A ...

7.4.問題37.4.P3グリューブ＝ラインボルト不等式次に、2つの行列に対する (7.4.12.1) の一般化を示す。\( B, C \in M_n \) が可換な正定値行列であり、それぞれの固有値が\( 0 \lt \lambda_1 ...

7.4.問題27.4.P2行列要素に対する改良された評価\( A = \in M_n \) が正定値行列であり、固有値が \( 0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n \) であるとする。すべての ...

7.4.問題17.4.P1スカラー・カントロヴィッチ不等式の導出\( 0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n \)、かつ \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \) が非負で \...

7.4.12 カントロビッチとヴィーラントの不等式行列 \( A \in M_n \) がエルミートかつ正定値であるとする。ここで、\(\lambda_1\) および \(\lambda_n\) をそれぞれ \(A\) の最小および最大の固...

7.4.11.1 絶対ユニタリ不変ノルムの特徴付け定理 7.4.11.1. \( M_{m,n} \) 上のユニタリ不変ノルムを \( \lVert \cdot \rVert \) とする。このとき、\( \lVert \cdot \rVe...

7.4.11 絶対ユニタリ不変ノルム行列 \( A = \in M_{m,n} \) のフロベニウスノルムは、次の2つの形で表すことができる。\lVert A \rVert_2 = (\sigma_1(A)^2 + \cdots + \si...

7.4.10.2 ユニタリ不変行列ノルムの凸結合系 7.4.10.2　\( \lVert \cdot \rVert_a \) および \( \lVert \cdot \rVert_b \) を \( M_n \) 上のユニタリ不変行列ノルム...

7.4.10.1定理：ユニタリ不変ノルムが行列ノルムとなる条件ユニタリ不変ノルム \( \| \cdot \| \) が \( M_n \) 上の行列ノルムであるための必要十分条件は、すべての \( A \in M_n \) に対して\|A...

7.4.10 ユニタリ不変行列ノルム\(\| \cdot \|\) を \(M_n\) 上のユニタリ不変行列ノルムとする。任意の \(A \in M_n\) に対して、式 (5.6.34(d)) により次が成り立つ。\|A\| \ge \s...

7.4.9.3 系（Mirsky の結果）A, B ∈ M_n をエルミート行列とし、\(\| \cdot \|\) を M_n 上のユニタリ不変ノルムとする。このとき次が成り立つ。\|\text{diag}\,\lambda_\downa...

7.4.9.1 ユニタリ不変ノルムにおける近似境界の定理定理 7.4.9.1. 正の整数 \(m\) および \(n\) が与えられ、\(q = \min\{m,n\}\) とする。任意の \(A, B \in M_{m,n}\) に対して...

7.4.9 ユニタリ不変ノルムの近似境界不等式 (7.4.1.3(a)) および (7.3.5(b)) は、フロベニウスノルムに関して、任意の行列 \(A, B \in M_{m,n}\) に対して次が成り立つことを示している。\|A - ...

7.4.8.4 定理（キーファンの優越定理）\( A, B \in M_{m,n} \) とする。このとき、次の2つの条件は同値である。(1) すべてのユニタリ不変ノルム \(\|\cdot\|\) に対して \(\|A\| \le \|B...

7.4.8 キーファンの優越定理（Ky Fan’s Dominance Theorem）\( k \)-ノルム族（式 (5.2.5)）は、ユニタリ不変ノルムの理論において特別な役割を果たす対称ゲージ関数である。対応するユニタリ不変ノルムは ...

7.4.7.2 定理：ユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数の対応関係\( m \) および \( n \) を正の整数とし、\( q = \min\{m, n\} \) とする。任意の \( A \in \mathbb{M}_{m,n} \)...

7.4.7.1 対称ゲージ関数とユニタリ不変ノルムの対応定義 7.4.7.1. 関数 \( g : \mathbb{C}^q \to \mathbb{R}^+ \) が対称ゲージ関数（symmetric gauge function）である...

7.4.7 ユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数（Unitarily Invariant Norms and Symmetric Gauge Functions）\( A \in M_{m,n} \) とし、\( A = V \Sigma W...

7.4.6 両側回転問題（Two-Sided Rotation Problem）\( A, B \in M_{m,n} \) とする。ここでの問題は、あるユニタリ行列 \( U \in M_m \) および \( T \in M_n \) ...

7.4.5 ユニタリ・プロクルステス問題（Unitary Procrustes Problem）\( A, B \in M_{m,n} \) とする。ここで問題とするのは、あるユニタリ行列 \( U \in M_m \) に対して、フロベニ...