7.正定値および半正定値行列

7.5.問題147.5.P14\( A \in M_n \) が正定値であるとする。行列 \( A \circ A^{-T} = A \circ \overline{A^{-1}} \) は、化学工学のプロセス制御において「相対ゲイン配列（...

7.5.問題137.5.P13\( A, B \in M_n \) とし、\( A \) は正定値、\( B \) は半正定値であると仮定する。\( \nu(B) \) を \( B \) の主対角要素のうち 0 でないものの個数とする。(...

7.5.問題127.5.P12\( A = \in M_n \) が半正定値であり、すべての要素が非零であると仮定する。アダマール逆行列 \( A^{(-1)} = \) を考える。このとき、\( A^{(-1)} \) が半正定値であるの...

7.5.問題117.5.P11\( A = \in M_n \) が半正定値であるならば、行列 \( \) も半正定値であることを示せ。

7.5.問題107.5.P102つの正定値関数の積もまた正定値関数であることを説明せよ。

7.5.問題97.5.P9\( f \in C(\mathbb{R}) \) が正定値関数であることと、\( K(s, t) = f(s - t) \) が半正定値な積分核であることが同値であることを示せ。

7.5.問題87.5.P8(7.5.P7) とシューア積定理を用いて、半正定値な積分核の通常の（点ごとの）積が半正定値であることを示せ。

7.5.問題77.5.P7有限区間 \(\) 上の連続な積分核 \( K(x, y) \) を考える。すべての点 \( x_1, \ldots, x_n \in \) および \( n = 1, 2, \ldots \) に対して、行列 \...

7.5.問題67.5.P6次の行列を考える：A =\begin{bmatrix}10 & 3 & -2 & 1 \\3 & 10 & 0 & 9 \\-2 & 0 & 10 & 4 \\1 & 9 & 4 & 10\end{bmatrix}...

7.5.問題57.5.P5(7.5.P4) の \( |C| \in M_4 \) を考える。\( |C| \circ |C| \) を計算し、それが半正定値であることを確かめよ。 これにより、\( B = |C| \circ |C| \)...

7.5.問題47.5.P4\( A = \in M_n \) が半正定値であるとする。前問より、\( A \circ \bar{A} = \) は半正定値であることが保証されるが、アダマール絶対値行列 \( |A| = \) についてはどう...

7.5.問題37.5.P3\( A = \in M_n \) が半正定値であるとする。このとき、行列 \( \) も半正定値であることを示せ。

7.5.問題27.5.P2\( A, B \in M_n \) とする。\( A \) のエルミート部分 \( H(A) \) が正定値であり、\( B \) も正定値であると仮定する。(a) \( H(A \circ B) \) が正定値...

7.5.問題17.5.P1\( A, B \in M_n \) が半正定値行列であるとする。次の概要に基づいて、アダマール積 \( A \circ B \) が半正定値であることを示す別証明を詳しく述べよ。 (a) 行列 \( X = ,\...

7.5.9　定理：半正定値行列のアダマール累乗と関数変換\( A = \in M_n \) が半正定値行列であるとする。(a) アダマール累乗 \( A^{(k)} = \) は、すべての \( k = 1, 2, \ldots \) に対...

7.5.8　Fejérの一意性定理（Fejér’s Uniqueness Theorem）Fejérの一意性定理（Fejér’s Uniqueness Theorem） (7.5.6) 式で定義された作用素 \( L \) が楕円型であり、...

7.5.7　弱い最小値原理とFejérの一意性定理弱い最小値原理（Weak Minimum Principle） 7.5.7. (7.5.6) 式で定義された作用素 \( L \) が領域 \( D \) で楕円型であり、さらに \( c(...

7.5.5　楕円型偏微分方程式における最大・最小原理\( D \subset \mathbb{R}^n \) を開かつ有界な集合とする。\( C^2(D) \) 上で定義される次の実2階線形微分作用素(7.5.6)Lu = \sum_{i,...

7.5.4　定理（ムタールの定理）行列 \( A = \in M_n \) について、次が成り立つ。\( A \) が半正定値であることと、すべての半正定値行列 \( B = \in M_n \) に対して\mathrm{tr}(A B^{...

7.5.3　定理：アダマール積の半正定値性と正定値性行列 \( A, B \in M_n \) が半正定値であるとする。このとき、次のことが成り立つ。(a) \( A \circ B \) は半正定値である。(b) \( A \) が正定値...

7.5.2　補題：アダマール積に関するトレース表示行列 \( A, B \in M_n \) およびベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。ここで、\(\mathrm{diag}\,x\) ...

7.5.1アダマール積とシュール積定理定義 7.5.1　\( A = \in M_{m,n} \)、\( B = \in M_{m,n} \) のとき、\( A \) と \( B \) の アダマール積（Schur積） は、成分ごとの積で...

参考文献と追加読み物Kantorovich型不等式の一般化および参考文献については、A. Clausing, "Kantorovich-type inequalities", Amer. Math. Monthly 89 (1982) 31...

7.4.問題187.4.P18ユニタリ不変ノルムに関する不等式\(\|\cdot\|\) を \(M_{n,m}\) 上のユニタリ不変ノルムとする。任意の \(A \in M_{n,m}\) に対して次の不等式が成り立つ： \| A \| ...

7.4.問題177.4.P17正則な行列 \(A \in M_n\) とその特異値分解 \(A = V \sigma(A) W^*\) を考える。ここで \(\sigma(A) = \mathrm{diag}(\sigma_1(A), \d...

7.4.問題167.4.P16 特異値分解に基づく距離の評価\( A \in M_n \) が特異値分解 \( A = V \sigma(A) W^* \) を持つとする。ユニタリ不変ノルム \( \| \cdot \| \) に対して、任...

7.4.問題157.4.P15極分解に基づくユニタリ行列との距離\( A \in M_n \) とし、\( \| \cdot \| \) をユニタリ不変ノルムとする。式 (7.4.9.1) を用いて次を示せ：\| A - U \| \ge ...

7.4.問題147.4.P14エルミート・対称・実部のノルム不等式任意の複素数 \( z \) に対して、\( |\operatorname{Re} z| \le |z| \) が成り立つ。ユニタリ不変ノルム \( \| \cdot \| ...