7.正定値および半正定値行列

7.6.問題87.6.P8.\(C \in M_n\) をエルミートとし、\(C = A + iB\)（\(A, B \in M_n(\mathbb{R})\)）と書く。もし \(C\) が正定値ならば、\(|\det B| \lt \de...

7.6.問題77.6.P7.\(A, B \in M_n\) をエルミートとし、\(A\) が正定値とする。(7.6.4) を用いて、\(A + B\) が正定値であるのは、\(A^{-1}B\) のすべての固有値が \(-1\) より大き...

7.6.問題67.6.P6.\(A, B \in M_n\) を半正定値とする。次を示せ：\(\det(A + B) \ge \det A + \det B\)、等号成立は \(A + B\) が特異、または \(A = 0\) あるいは ...

7.6.問題57.6.P5.2つの実二次形式 \(5x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2\) と \(x_1^2 + 2x_1x_2 - x_2^2\) を考える。 (a) なぜ非特異な変数変換 \(x \to S\xi\) によ...

7.6.問題47.6.P4.次のアイデアを用いて (7.6.1(b)) を証明せよ：非特異行列 \(S \in M_n\) をとり、\(A + B = S(I_m \oplus 0_{n-m})S^\ast\) とする。 \(S^{-1} ...

7.6.問題37.6.P3.(7.6.5) における行列 \(A^{-1}B \bar{A}^{-1} \bar{B}\) が、正定値行列 \(A^{-T}\) と∗合同な行列に相似であることを示せ。

7.6.問題27.6.P2.\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とする。もし実数 \(\alpha, \beta\) が存在して \(\alpha A + \beta B\) が正定値ならば、非特異な \(S \in M_n\...

7.6.10 正定値エルミート行列に対する逆行列のトレースの凸性定理7.6.10. 関数 \(f(A) = \operatorname{tr} A^{-1}\) は、正定値エルミート行列の凸集合上で厳密に凸である。 証明. \(A, B \...

7.6.8 正定値行列における行列式の算術・幾何平均不等式系7.6.8. \(A, B \in M_n\) を正定値行列とし、\(0 \lt \alpha \lt 1\) とする。このとき次の不等式が成り立つ： \det(\alpha A ...

7.6.正定値エルミート行列上の対数行列式の厳密凹性定理7.6.6. 関数 \(f(A) = \log \det A\) は、\(M_n\) における正定値エルミート行列の凸集合上で厳密凹関数である。 証明. \(A, B \in M_n\...

7.6.半正定値・正定値エルミート行列の対角化と複素対称行列の応用定理7.6.5. \(A, B \in M_n\) とする。もし \(A\) が正定値で \(B\) が複素対称行列であるなら、非特異行列 \(S \in M_n\) が存在...

7.6.定理7.6.4. \(A, B \in M_n\) がエルミート行列であるとする。 (a) もし \(A\) が正定値であれば、非特異行列 \(S \in M_n\) が存在して、\(A = S I S^\ast\) および \(B...

7.6.定理 \(A, B \in M_n\) がエルミート行列であり、\(A\) が半正定値かつ特異であるとする。このとき、\(AB\) は \(\Lambda \oplus N\) に相似である。ここで \(\Lambda\) は実対角...

7.6.2. 系 \(A, B \in M_n\) がエルミート行列であるとする。(a) もし \(A\) が正定値であれば、\(AB\) は対角化可能であり、固有値は実数である。さらに、\(B\) が正定値または半正定値である場合、\(A...

7.6.1 定理：エルミート行列の標準形と固有値分解定理 7.6.1. \( A, B \in M_n \) をエルミート行列とする。 (a) \( A \) が正定値である場合、非特異行列 \( S \in M_n \) が存在して、次の...

参考文献：行列の要素積に対するノルムおよび固有値の境界の最初の体系的研究は I. Schur による "Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlic...

7.5.問題257.5.P25\( A \in M_n \) が半正定値、\( z \in \mathbb{C}^n \)、\( c \in \mathbb{R} \)、\( e \in \mathbb{R}^n \) を全ての成分が 1 ...

7.5.問題247.5.P24\( A, B = \in M_n \) が半正定値であるとする。(a) 式 (7.5.3(b)) の証明を調べ、なぜ \( \lambda_{\min}(A \circ B) \ge \lambda_{\mi...

7.5.問題237.5.P23\( z_1, \dots, z_n \) を異なる複素数とする。(a) \( \) および \( \) が正定値であることを示せ。 (b) \( f(z) = (1-z^3)^{-1} \) とし、各 \( ...

7.5.問題227.5.P22(7.5.P15) を再考し、(7.5.P18) の考え方を用いてヒルベルト行列 \( H_n \) が正定値であることを示す。(a) \( Z = J_n + X + X^{(2)} + X^{(3)} + ...

7.5.問題217.5.P21\( n \ge 2 \)、\( A = \in M_n \) が半正定値であり、\( B = \) をそのアダマール指数行列とする。\( B \) は半正定値である。我々は \( B \) が正定値であること...

7.5.問題207.5.P20\( n \ge 2 \) とし、\( A = \in M_n \) が半正定値であるとする。もし異なる \( p, q \in \{1, \dots, n\} \) が存在して \( a_{pp} = a_{...

7.5.問題197.5.P19次の \( 2 \times 2 \) 行列を考える。A = \begin{bmatrix}\alpha_1 & \beta \\\overline{\beta} & \alpha_2\end{bmatrix}...

7.5.問題187.5.P18\( A = \in M_n \) を半正定値とし、\( B_t = \) とする。すべての \( t \gt 0 \) に対して \( B_t \) が半正定値であることを示せ。また、次の条件が同値であること...

7.5.問題177.5.P17\( n_1, \dots, n_m \) を \( m \) 個の異なる正の整数とし、\( \gcd(n_i, n_j) \) をその最大公約数とする。次の行列G = \in M_mが実対称半正定値であること...

7.5.問題167.5.P16\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。このとき、次が成り立つことを示せ。A \text{ が半正定値である} \iff \begin{aligned} A \circ B \quad ( 任意...

7.5.問題157.5.P15ヒルベルト行列 \( H_n = \in M_n \) が半正定値であることの証明の概要を次の手順に従って示せ。(a) \( X = = \in M_n \) は半正定値行列であり、すべての \( i, j =...