7.正定値および半正定値行列

7.7.8 補題：半正定値特異行列と縮小列の極限この補題では、特異な半正定値行列に小さな正の定数を加えることで正定値行列を得る過程と、その平方根の極限挙動、さらに縮小（contraction）行列列の収束性について述べる。補題7.7.8．\...

7.7.7 定理：エルミート行列の半正定値条件の同値性次の定理は、ブロック構造をもつエルミート行列が正定値であるためのいくつかの同値条件を与えるものである。定理7.7.7．次を仮定する。エルミート行列 H = \begin{bmatrix}...

7.7.6 補題：行列の収縮性と半正定値性の関係この補題では、行列 \(X \in M_{p,q}\) によって構成されるブロック行列が、正定値または半正定値であるための条件を示す。特に、行列の「収縮（contraction）」および「厳密...

7.7.4　半正定値エルミート行列に関する基本的な不等式とシュール補行列以下では、エルミート行列 \(A, B \in M_n\) に関する重要な性質を示す。特に、半正定値性、固有値の順序、トレースや行列式の関係を扱う。さらに、シュール補行...

7.7.3 ローナーの半順序とスペクトル条件によるエルミート行列の比較定理 7.7.3　\( A, B \in M_n \) をエルミート行列とし、\( A \) が正定値であると仮定する。このとき次の性質が成り立つ。(a) \( B \)...

7.7.2　ローナーの半順序におけるエルミート行列の性質定理 7.7.2　\( A, B \in M_n \) をエルミート行列、\( S \in M_{n,m} \) とする。このとき次が成り立つ。 (a) もし \( A \succeq...

7.7.1 ローナー部分順序と行列の大小関係定義7.7.1　\( A, B \in M_n \) とする。\( A \) と \( B \) がエルミート行列であり、かつ \( A - B \) が半正定値であるとき、\( A \succe...

参考文献様々な正値クラスの行列積に関する結果については、C. S. Ballantine および C. R. Johnson, "Accretive matrix products," Linear Multilinear Algebra ...

7.6.問題297.6.P29.一般結果 (4.5.17(c)) から (7.6.5) を導け。

7.6.問題287.6.P28.一般結果 (4.5.17(a)) から (7.6.4(a)) を導け。

7.6.問題277.6.P27.\(\|\cdot\|\) を \( \mathbb{R}^n\) 上のノルムとする。(a) 標準基底 \(e_i\) を用いて \operatorname{vol} E(Q) \ge c_n \prod_{...

7.6.問題267.6.P26. \(F^n\) 上の \(l_p\) ノルムに対応する Loewner–John 行列 \(L\) は L = \alpha I, \quad \alpha = \begin{cases} 1 & 1 \l...

7.6.問題257.6.P25. （継続；同じ表記）置換不変な絶対ノルム（すなわち対称ゲージ関数） \(\|\cdot\|\) の Loewner–John 行列を \(L\) とする。示せ： L = \alpha I, \quad \al...

7.6.問題247.6.P24.（継続；同じ表記）\(F^n\) 上の絶対ノルム \(\|\cdot\|\) に対して、その Loewner–John 行列は正の対角行列であることを示せ。

7.6.問題237.6.P23.（継続；同じ表記）\(G \subset M_n(F)\) は有界な乗法行列群とする。前二つの問題から、ノルム \(\|\cdot\|_G\) に対応する Loewner–John 行列 \(L\) は正定値...

7.6.問題227.6.P22. （継続；同じ表記）\(G \subset M_n(F)\) を有界な乗法行列群とする。次を示す：\(F^n\) 上のノルム \(\|\cdot\|_G\) を定めると、\(G\) の各要素は \(\|\cd...

7.6.問題217.6.P21.（継続；同じ表記）ノルム \(\|\cdot\|\) の等長変換群を F_{\|\cdot\|} = \{ A \in M_n(F) : A \text{ は } \|\cdot\| \text{ に対して等...

7.6.問題207.6.P20.\(F^n\) 上のノルム \(\| \cdot \|\) を考え、次の集合を定義する： E(\|\cdot\|) = \{ B \in M_n(F) : B \text{ は半正定値かつ } x^* B x...

7.6.問題197.6.P19.\(A \in M_n(\mathbb{R})\) が正定値とする。次を示せ：楕円体 \(E(A)\) の体積は \operatorname{vol}(E(A)) = \frac{c_n}{\sqrt{\de...

7.6.問題187.6.P18.正定値行列 \(A \in M_n(F)\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）に対して、楕円体 \(E(A) = \{ x \in F^n : x^* A x \l...

7.6.問題177.6.P17.\(S \subset M_n\) を正定値行列を少なくとも1つ含む、コンパクト凸集合とする。(a) \(\mu = \sup\{\det A : A \in S\}\) が正かつ有限であること、また \(\...

7.6.問題167.6.P16.\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とし、\(A\) が半正定値であると仮定する。次を示せ：\(AB\) が実対角行列に相似であるのは、\(\operatorname{rank}(AB) = \...

7.6.問題157.6.P15.\(A, B \in M_n\) を半正定値かつ零でないとする。次を示せ： \operatorname{tr}(AB) = \| A^{1/2} B^{1/2} \|_2^2 \ge 0等号成立は \(AB ...

7.6.問題147.6.P14.\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とする。(a) \(A\) が正定値、または \(A\) と \(B\) が半正定値の場合、\(\rho(AB) = 0\) は \(AB = 0\) と同値...

7.6.問題137.6.P13.\(A, B \in M_n(\mathbb{R})\) を対称かつ正定値とし、\(x(t) = ^T\) とする。(7.6.2(a)) または (7.6.4(a)) を用いて、\(Ax''(t) = -Bx...

7.6.問題12半正定値エルミート行列の積の構造とジョルダン標準形\( A, B \in M_n \) をエルミート行列とし、さらに \( A \) が半正定値であると仮定する。 定理7.6.3によれば、行列積 \( AB \) は次のよう...

7.6.問題117.6.P11.前問の代替証明の詳細を示せ。記法および仮定は同じとする：\(\alpha \in \) に対して \(S(\alpha) = ((1-\alpha)C + \alpha A)BC\) とし、\(S(1)\) ...

7.6.問題107.6.P10.\(A, B, C \in M_n\) が正定値とする。積 \(AB\) はエルミート（\(AB = BA\)）である場合に限り正定値であることが知られている。\(S = ABC\) が正定値であるのは、\(...

7.6.問題97.6.P9.(4.1.7) で、\(A \in M_n\) は 2 つのエルミート行列の積であるのは、\(A\) が実行列に相似である場合に限ることを示した。(7.6.1(a)) を用いて、\(A \in M_n\) が 2...