7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P20]
7.7.問題207.7.P20(a) なぜ (7.7.7(e)), (7.7.9(b)), (7.7.11(d)) の収縮行列 \(X\) が \(X = (A^\dagger)^{1/2} B (C^\dagger)^{1/2}\)（ムー...
7.正定値および半正定値行列
7.正定値および半正定値行列 7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P19]
7.7.問題197.7.P19単位円上で複素解析関数 \(f\) があり、\(f(0) = 0\) および \(f'(0) = 1\) と正規化されているとする。Grunsky 不等式 (4.4.1) を考える。次が成り立つ理由を説明せよ。...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P18]
7.7.問題187.7.P18\(A = \in M_n\) は半正定値、\(B = \in M_n\) は対称行列であり、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^T B x|\) ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P17]
7.7.問題177.7.P17\(A, B, C, D \in M_n\) とする。A と C は半正定値、B と D は対称行列である。任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^T ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P16]
7.7.問題167.7.P16\(A \in M_n\) が半正定値、\(B \in M_n\) が対称行列のとき、次の条件が同値であることを示せ。 (a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P15]
7.7.問題157.7.P15\(A = \in M_n\) は半正定値、\(B = \in M_n\) はエルミート行列であり、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^* B x|...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P14]
7.7.問題147.7.P14正定値行列 \(A, B \in M_n\) および \(\alpha \in (0,1)\) とする。 (a) 次を示せ。 \(\alpha A^{-1} + (1-\alpha) B^{-1} \succe...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P13]
7.7.問題137.7.P13\(A, B \in M_n\) がエルミート行列、\(\alpha \in (0,1)\) とする。\(\alpha A^2 + (1-\alpha) B^2 \succeq (\alpha A + (1-\...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P12]
7.7.問題127.7.P12\(A, B \in M_n\) とし、 Z = \begin{pmatrix} I & A \\ B^* & I \end{pmatrix}とする。 ZZ^* = \begin{pmatrix} I + AA...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P11]
7.7.問題117.7.P11 H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix}が半正定値であり、\(A, C \in M_p\) のとき、\((\det A)(\det C) \ge |...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P10]
7.7.問題107.7.P10\(A \in M_n\) が正定値、\(x, y \in \mathbb{C}^n\) のとき、\((x^* A x)(y^* A^{-1} y) \ge |x^* y|^2\) を示せ。
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P9]
7.7.問題97.7.P9 H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix} \succeq 0とする。\(\min\{\mathrm{rank}\, A, \mathrm{rank}\,...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P8]
7.7.問題87.7.P8 H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix} \in M_nが正定値であり、\(A \in M_k\)、\(\alpha = \{1, \dots, k\}...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P7]
7.7.問題77.7.P7\(A \in M_n\)、\(y \in \mathbb{C}^n\) が非ゼロであるとする。\(Ax = y\) となる \(x \in \mathbb{C}^n\) が存在し、かつ \(\|x\|_2 \su...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P6]
7.7.問題67.7.P6\(A, B \in M_n\) が半正定値であるとする。\(A \succeq B\) のとき、\(\mathrm{range}\, B \subseteq \mathrm{range}\, A\) を示せ。
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P5]
7.7.問題57.7.P5\(A, B \in M_n\) がエルミート行列であり、\(\alpha \subset \{1, \dots, n\}\) の場合、\(A \succeq B\) ならば \(A \succeq B\) を示せ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P4]
7.7.問題47.7.P4\(A, B, C, D \in M_n\) がエルミート行列であるとする。\(A \succeq B \succeq 0\) および \(C \succeq D \succeq 0\) のとき、\(A \circ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P3]
7.7.問題37.7.P3(7.7.4(b)) の主張は改善できる。(7.7.4(b))\(A \succeq 0\)、\(B \succeq 0\)、かつ \(A \succeq B\) のとき、\(A^{1/2} \succeq B^{...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P2]
7.7.問題27.7.P2\(A_1, A_2, B_1, B_2 \in M_n\) がエルミート行列であるとする。もし \(A_1 \succeq B_1\) および \(A_2 \succeq B_2\) ならば、\(A_1 + A_...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P1]
7.7.問題17.7.P1次の行列を考えて、\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix} (7.7.4(c)) ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7]問題集
7.7.問題集7.7.P1 次の行列を考える。 \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} と\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix} そして、(7.7....
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.17]定理：正定値行列のアダマール積に関する不等式
7.7.17 正定値行列のアダマール積に関する不等式定理 7.7.17\(A, B ∈ M_n\) を正定値行列とする。次が成り立つ：\text{(a)} \quad A^{-1} \circ B^{-1} \succeq (A \circ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.16]定理：正定値行列に関する半正定値かつ特異なブロック行列の構成
7.7.16 正定値行列に関する半正定値かつ特異なブロック行列の構成定理 7.7.16\(A ∈ M_n\) を正定値行列とする。次の行列は半正定値かつ特異である：\text{(a)} \quad \begin{bmatrix} A & X...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.15]定理：正定値行列の部分逆行列
7.7.15 正定値行列の部分逆行列定理 7.7.15 H ∈ M_n を正定値行列とし、α ⊂ {1, …, n} とする。このとき次が成り立つ：H^{-1} \succeq (H)^{-1}証明 正定値行列の置換合同行列は正定値であるた...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.14]系：アダマール積に関する系
7.7.14 アダマール積に関する系系 7.7.14\( A, B, C, D \in M_n \) をエルミート行列とし、A および C が半正定値であるとする。任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対してx^* A...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.13]系：半正定値行列の順序関係
7.7.13 半正定値行列の順序関係系 7.7.13\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。次の条件は互いに同値である。(a) \( A \succeq B \)。(b) 次のブロック行列が半正定値である：\begin{...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.12]系：半正定値行列に対する共役行列の不等式の等価条件
7.7.12 半正定値行列に対する共役行列の不等式の等価条件系7.7.12 \( A \in M_n \) を半正定値行列、\( B \in M_n \) をエルミート行列とする。次の4つの条件は互いに同値である。(a) 任意の \( x ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.11]定理：半正定値行列に関する等価条件と拡張された正定値性
7.7.11 半正定値行列に関する等価条件と拡張された正定値性本稿では、行列 \( A \in M_p \)、\( C \in M_q \) が半正定値であり、\( B \in M_{p,q} \) が与えられたときに成り立つ等価な条件につ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.10]系：半正定値行列に関する補題とその帰結
7.7.10 半正定値行列に関する補題とその帰結本稿では、エルミート行列 \( A, C \in M_p \) に関する補題（Corollary 7.7.10）を示す。特に、ブロック行列が半正定値であるための条件と、行列の逆行列との関係につ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.9]定理：エルミート行列の半正定値性と縮小行列による分解
7.7.9 定理：エルミート行列の半正定値性と縮小行列による分解この定理では、エルミート行列が半正定値であるための条件と、それが縮小行列を用いた分解によって特徴づけられることを示す。また、行列 \( A \) および \( C \) が正則...