7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.5]定理：フィッシャーの不等式
7.8.5フィッシャーの不等式（Fischer’s Inequality）定理 7.8.5（フィッシャーの不等式） 次のように分割されたエルミート行列 H =\begin{bmatrix}A & B \\B^{*} & C\end{bmat...
7.正定値および半正定値行列
7.正定値および半正定値行列 7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.3]系：アダマールの不等式
7.8.3アダマールの不等式の系（Hadamard’s Inequality）系 7.8.3（アダマールの不等式） \( B \in M_n \) を正則行列とする。列ごとに B = , \quad B^{*} = と分割する。このとき次が...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.1]定理：アダマールの不等式
7.8.1アダマールの不等式（Hadamard’s Inequality）定理 7.8.1（アダマールの不等式） \( A = \in M_n \) を半正定値行列とする。このとき次が成り立つ。 \det A \le a_{11} \cdo...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8]正定値行列に関する不等式
目次7.8.17.8 正定値行列に関する不等式(Inequalities involving positive definite matrices)正定値行列は、行列式、固有値、対角成分、その他の量を含む多様な不等式に関係する。この節では、...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7]注記
補足事項および参考文献1934年、C. Loewner（K. Löwner）は、自身の名にちなんだ順序に関して単調である行列関数を特徴付けた：すなわち、A \succeq B ならば f(A) \succeq f(B) となる場合である。彼...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P45]
7.7.問題457.7.P45\(A, B \in M_n\) が正定値で、次を定義する： H = \begin{pmatrix} B^{-1} & I \\ I & A \end{pmatrix}H/B^{-1} および H/A を計算せ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P44]
7.7.問題447.7.P44\(A, B \in M_n\) が正定値で、かつ \(A \succeq B\) であるとする。定義から次を示せ：\(B^{-1} \succeq A^{-1}\)。 (a) \(x, y \in \math...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P43]
7.7.問題437.7.P43\(A, B \in M_n\) が正定値で、かつ \(A \succeq B\) であるとする。次を証明せよ： \det(A + B) \ge \det A + n (\det A)^{(n-1)/n} (\...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P42]
7.7.問題427.7.P42\(A \in M_n\) とし、\(\text{H}(A) = \frac{1}{2}(A + A^*)\) が正定値であるとする。∗合同の標準形 (7.1.15) を用いて次を示せ：\(\text{H}(A...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P41]
7.7.問題417.7.P41 (前問の続き) \(H_1 = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 \\ B_1^* & C_1 \end{pmatrix}, H_2 = \begin{pmatrix} A_2 & B_2 ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P40]
7.7.問題407.7.P40\(A \in M_p\) が正定値、\(B \in M_q\) が半正定値であり、次の行列が半正定値であるとする： H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmat...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P39]
7.7.問題397.7.P39 \(A, B \in M_n\) とする。次を示せ： \begin{pmatrix} I & A \\ A^* & A^* A \end{pmatrix} \succeq 0これにより次が従う：A^*A \c...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P38]
7.7.問題387.7.P38\(X \in M_n\) がエルミートであるとする。次を示せ：\(X\) が収縮であることと \(I \succeq X^2\) が同値である。
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P37]
7.7.問題377.7.P37 \(A, B \in M_n\) が正定値であるとする。次を示せ： A \circ B^{-1} + A^{-1} \circ B \succeq 2I
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P36]
7.7.問題367.7.P36\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とし、次の行列を定義する： H = \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}(a) (1.3.P19) を再確認...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P35]
7.7.問題357.7.P35\(A \in M_n\) を正則とする。 (a) 次を示せ： \begin{pmatrix} (AA^*)^{1/2} & A \\ A^* & (A^*A)^{1/2} \end{pmatrix}は半正定値...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P34]
7.7.問題347.7.P34\(A \in M_n\) を考える。 (a) \(A A^* \succeq A^* A\) は \(A\) が正規であることと同値である。 (b) \((A A^*)^{1/2} \succeq (A^* ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P33]
7.7.問題337.7.P33\(A_i, B_i \in M_n\) が正定値であり、\(\alpha_i \ge 0\) (\(i = 1, \dots, k\)) とする。各 \(A_i \succeq B_i\) が成り立ち、\(\...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P32]
7.7.問題327.7.P32\(A, B \in M_n\) が正定値であるとする。次が成立することを示せ： \(A \succeq B \iff \begin{pmatrix} I & B^{1/2} \\ B^{1/2} & A \e...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P31]
7.7.問題317.7.P31\(A \in M_n\) はエルミートかつ正則であり、部分空間 \(S \subset \mathbb{C}^n\) が与えられている。\(A\) が \(S\) 上で正定値、すなわち任意の非零 \(x \i...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P30]
7.7.問題307.7.P30\(A \in M_n\) が正則であるとする。次を示せ： \((A^{-1} \circ A) e = e\)、ただし \(e\) は全て 1 のベクトル。A が正定値の場合、なぜ \(A^{-1} \cir...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P29]
7.7.問題297.7.P29\(A \in M_n\) が正定値であるとする。次を示せ： \(A^{-1} \circ \dots \circ A^{-1} \succeq (A \circ \dots \circ A)^{-1}\) （...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P28]
7.7.問題287.7.P28\(A \in M_n\) が正定値であるとする。境界付き行列 \begin{pmatrix} A & x \\ x^* & a \end{pmatrix} \in M_{n+1}が正定値であることは \(a ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P27]
7.7.問題277.7.P27\(A, B \in M_{m,n}\) とする。次を示す：\(\sigma_1(A \circ B) \le \sigma_1(A) \sigma_1(B)\)。詳細は次の通り。\(A \neq 0 \neq...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P26]
7.7.問題267.7.P26\(C_1, \dots, C_k \in M_n\) を正定値行列とする。\(E = (\text{Re }C_1) \circ \dots \circ (\text{Re }C_k)\) および \(F =...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P25]
7.7.問題257.7.P25\(A \in M_n\) はエルミートで \(A = A_1 + i A_2\) と表す。\(A_1, A_2\) は実行列とする。\(A\) が正定値であることは、\(A_1\) が正定値かつ \(\rho...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P24]
7.7.問題247.7.P24 (前問の続き)(a) 前問で \(\alpha = \{ j \}\) (\(j \in \{1,\dots,n\}\)) を選ぶとどのような不等式が得られるか？ (b) 実の斜対称な厳密収縮行列 \(X\)...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P23]
7.7.問題237.7.P23正定値行列 \(A \in M_n\) を考える。次を示すことを主張する：\(\text{Re }A^{-1} \succeq (\text{Re }A)^{-1}\) かつ \(\text{range }(\...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P22]
7.7.問題227.7.P22正定値行列 \(A \in M_n\) を \(A = A_1 + i A_2\) と表す。ただし \(A_1, A_2\) は実行列である。\(A_1\) は実対称かつ正定値であり、\(A_2\) は実の斜対...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.7.P21]
7.7.問題217.7.P21正定値行列 \(A \in M_n\) および半正定値行列 \(B \in M_n\) とする。 (a) 正のスカラー \(c\) が存在して \(cA \succeq B\) となることを示せ。 (b) 最小...