7.正定値および半正定値行列

7.1.問題22問題 7.1.P22　 \( A \in M_n \) が半正定値 Hermitian 部分 \( H(A) \) をもつとする。もし \( H(A^2) \) が半正定値ならば、\( \mathrm{rank}\,A = ...

7.1.問題21問題 7.1.P21\( A \in M_n \) が半正定値 Hermitian 部分をもつとする。(a) 任意の正則行列 \( S \in M_n \) に対して \( SAS^* \) も同様の性質をもつことを説明せよ...

7.1.問題20問題 7.1.P20　すべての連続複素値関数 \( f \) に対して次が成り立つことを示せ。\int_0^N \int_0^N \min\{s, t\} \, \overline{f(s)} f(t) \, ds dt= ...

7.1.問題19問題 7.1.P19　 前問の結果と極限の議論を用いて、カーネルK(s, t) = \min\{s, t\}が任意の \( N \gt 0 \) に対して区間 \(\) 上で半正定値であることを示せ。すなわち、すべての連続複...

7.1.問題18問題 7.1.P18　 (a) \( 0 \lt \alpha_1 \lt \cdots \lt \alpha_n \) とし、A = _{i,j=1}^nとおく。このとき次が成り立つことを示せ。A = \alpha_1 J...

7.1.問題17問題 7.1.P17　 \( J_n \) を \( n \times n \) のすべての要素が 1 の行列とする（式 (0.2.8) を参照）。次を示せ。x^* J_n x = |x_1 + \cdots + x_n|^...

7.1.問題16問題 7.1.P16　 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C} \) が与えられ、すべての \( j = 1, \dots, n \) に対して \(\mathrm{Re}...

7.1.問題15問題 7.1.P15　 \( f \) が正定値関数であり、ある正の実数 \( \tau \) に対して \( f(\tau) = f(0) \) が成り立つとする。このとき、\( f \) が周期 \( \tau \) を...

7.1.問題14問題 7.1.P14　 \( A \in M_n \) が半正定値行列であり、次の拡張行列（ボーダー行列）B = \begin{bmatrix}A & y \\y^* & \alpha\end{bmatrix}が半正定値であ...

7.1.問題13問題 7.1.P13　 (a) \( f \) が正定値関数であるとき、複素共役関数 \( \overline{f} \) および実部 \( \tfrac{1}{2}(f + \overline{f}) = \mathrm{...

7.1.問題12問題 7.1.P12　 \( g \) が非負かつ可積分な関数であるとする。このとき、f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{its} g(s) \, dsが正定値関数であることを示せ。次の関数が...

7.1.問題11問題 7.1.P11　\( \sin t \) は正定値関数であるか？

7.1.問題10問題 7.1.P10　\( \cos t \) が正定値関数であることを証明せよ。

7.1.問題9問題 7.1.P9　各 \( s \in \mathbb{R} \) に対して \( f(t) = e^{ist} \) が正定値関数であることを示せ。さらに、前問の結果を用いて、任意の \( s_1, \dots, s_n ...

7.1.問題8問題 7.1.P8　\( f_1, \dots, f_n \) が正定値関数であり、\( a_1, \dots, a_n \) が非負の実数であるとする。このとき、f = a_1 f_1 + \cdots + a_n f_nが...

7.1.問題7問題 7.1.P7　関数 \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) が、任意の点集合 \(\{t_1, \dots, t_n\} \subset \mathbb{R}\) および \(n = 1,...

7.1.問題6問題 7.1.P6　\( A \in M_n \)、\( B \in M_m \) がエルミート行列であるとする。このとき、直和 \( A \oplus B \) が半正定値であることと、\( A \) および \( B \)...

7.1.問題5問題 7.1.P5　\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。もし \(|\operatorname{tr} A| \lt \|A\|_2\)（ここで \(\|A\|_2\) はフロベニウスノルム）であるな...

7.1.問題4問題 7.1.P4　\( A = \in M_n \) が相関行列であるとする。このとき、すべての \( i, j = 1, \dots, n \) に対して|a_{ij}| \le 1が成り立つことを示せ。等号が成立すること...

7.1.問題3問題 7.1.P3　\( A = \in M_n \) が半正定値であり、かつすべての主対角要素が正であるとする。このとき、次で定義される行列\leftが半正定値であり、その主対角要素はすべて +1 であり、さらにすべての要素...

7.1.問題2問題 7.1.P2　前問の結果を用いて、(7.1.10) の第2の主張を証明せよ。すなわち、半正定値行列の主対角要素の1つが 0 であることと、その要素が属する行および列全体が 0 であることは同値であることを示せ。

7.1.問題1問題 7.1.P1　\( A = \in M_n \) が半正定値であるとする。すべての異なる \( i, j \in \{1, \dots, n\} \) に対して、なぜ次が成り立つのかを説明せよ。a_{ii} a_{jj}...

7.1.14.半正定値行列の基本的な性質：零行列との関係次の観察結果は、半正定値行列に関して「和が零行列となる条件」と「階数が正である条件」を示している。観察 7.1.14. \( A, B \in M_n \) が半正定値であるとする。こ...

7.1.13.半正定値エルミート部分をもつ行列の性質（行と列の包含性）次の系は、行列のエルミート部分が正定値である場合に、その行列が特定の包含性をもつことを示している。系 7.1.13. \( A \in M_n \) のエルミート部分 \...

7.1.12.半正定値なエルミート部分をもつ行列の包含性と階数条件観察 7.1.12. \( A \in M_n \) が半正定値なエルミート部分 \( H(A) \) をもつとする。もし\( \operatorname{rank}(A) ...

7.1.11.半正定値なエルミート部分をもつ行列の階数と零空間補題 7.1.11. \( A \in M_n \) のエルミート部分が半正定値であるとする。すなわち、H(A) = \tfrac{1}{2}(A + A^*)である。このとき次...

7.1.10.半正定値行列の行と列の包含性観察 7.1.10. すべての半正定値行列は、行および列の包含性をもつ。特に、もし \( A = \) が半正定値であり、ある \( k \in \{1, \ldots, n\} \) に対して \...

7.1.9.観察：半正定値行列と列包含・行包含の性質観察 7.1.9　\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。このとき、次が成り立つ。\( A \) が半正定値であることと、正定値行列の数列 \( A_1, A_2, \ld...

7.1.18観察：半正定値行列と正定値行列における合同変換の性質観察 7.1.8　\( A \in M_n \) をエルミート行列とし、\( C \in M_{n,m} \) とする。(a) \( A \) が半正定値であると仮定する。この...