7.正定値および半正定値行列

7.2.問題107.2.P10　\( A \in M_n \) とする。定理 4.1.7 によれば、\( A \) はエルミート行列を用いて \( A^* \) と相似であることは、\( A \) が実行列と相似であることと同値である。さら...

7.2.問題97.2.P9　式 (7.2.7) の表現は、常に行が直交しフルランクの行列 \( B \) を用いて達成できる。(a) \( A \in M_n \) が半正定値であり、\( r = \operatorname{rank} A...

7.2.問題87.2.P8　半正定値または正定値行列は、エルミートであっても必ずしも半正定値でない平方根を持つことがある。また、非エルミートの平方根を持つこともある。次の行列の平方を計算せよ：\begin{bmatrix}a & b \\-...

7.2.問題77.2.P7　エルミート行列 \( A \) が負定値（または負半正定値）であるための、すべての小行列式の符号に関する必要十分条件を述べよ。

7.2.問題67.2.P6　\( n \ge 2 \) とし、\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( B \in M_{n-1} \) を \( A \) の首座主小行列とする。もし \( B \) が半正定値かつ \(\o...

7.2.問題5.P5　(a) 次の行列L_1 =\begin{bmatrix}2 & 0 \\1 & \sqrt{3}\end{bmatrix}が、正定値行列A_1 =\begin{bmatrix}4 & 2 \\2 & 4\end{bma...

7.2.問題47.2.P4　\( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その首座主小行列式（leading principal minor）がすべて正であるとする。このとき、(3.5.6b) で述べた \( A \) の LDU ...

7.2.問題37.2.P3　\( A = _{i,j=1}^{n} \) とし、\( R \) を主対角上およびその上の成分がすべて +1 である \( n \times n \) 上三角行列とする。(a) \( A = R^{T} R \...

7.2.問題27.2.P2　\( A \in M_n \) を半正定値行列、\( x \in \mathbb{C}^n \) とする。このとき、x^{*} A x = \| A^{1/2} x \|^{2}が成り立つことを示し、この恒等式か...

7.2.問題17.2.P1　\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。すべての \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A^{2k} \) が半正定値であること、また \( e^{A} \) が正定値であ...

7.2.10定理：グラム行列とその性質定理 7.2.10.　内積空間 \( V \) において、内積を \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) とし、ベクトル \( v_1, \ldots, v_m \) を...

7.2.9コレスキー分解と半正定値行列の特徴づけ系 7.2.9（コレスキー分解）　\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。このとき、\( A \) が半正定値（それぞれ、正定値）であることと、対角要素が非負（それぞれ、...

7.2.8系：エルミート行列の正定値性と合同エルミート行列 \( A \) が正定値であることと、\( A \) が単位行列に ∗合同（スター合同）であることは同値である。証明これは定理 (7.2.7) の単なる言い換えである。演習\( A...

7.2.7定理：半正定値行列の因数分解と階数の関係\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。(a) \( A \) が半正定値であることと、ある \( B \in M_{m,n} \) が存在してA = B^{*} Bが...

7.2.6定理：半正定値エルミート行列の k 乗根\( A \in M_n \) がエルミートかつ半正定値であるとし、\( r = \operatorname{rank} A \)、および \( k \in \{2, 3, \ldots\}...

7.2.5定理（シルベスターの判定法）\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。このとき、次のことが成り立つ。(a) もし \( A \) のすべての主小行列式（\(\det A\) を含む）が非負であるならば、\( A...

7.2.4 系：エルミート行列の特性多項式による半正定値の判定\( A \in M_n \) がエルミート行列であり、その特性多項式がp_A(t) = a_n t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_{n-m}...

7.2.3半正定値行列の性質とゲルシュゴリンの定理による判定もしすべての \( i = 1, 2, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} \gt 0 \) であるならば、行列 \( A \) は正定値である。証明これは (...

7.2.2　半正定値行列の累乗も半正定値であるもし \( A \in M_n \) が半正定値であるならば、各 \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A^k \) もまた半正定値である。証明行列 \( A \) の固...

7.2.1 正定値および半正定値行列の固有値による特徴付け定理 7.2.1. エルミート行列は、そのすべての固有値が非負である場合に限り半正定値である。また、そのすべての固有値が正である場合に限り正定値である。演習. 前記の定理から、非特異...

7.1.問題30問題 7.1.P30　 \( A \in M_n \) の Hermitian 部分が正定値であるとする。このとき \(A^{-*}A\) がユニタリ行列に相似であること、および\( I + A^{-*}A \)が正則である...

7.1.問題29問題 7.1.P29\( A = H_1 + i K_1, B = H_2 + i K_2 \in M_n \) とし、\(H_1, H_2, K_1, K_2\) は Hermitian、かつ \(H_1, H_2\) は...

7.1.問題28問題 7.1.P28　 これは (4.5.P21) の続きである。\( A \in M_n \) を半正定値とし、次のように分割する：A = \begin{bmatrix} B & C \\ C^* & D \end{bma...

7.1.問題27問題 7.1.P27\( A, B \in M_n \) が半正定値であり、部分集合 \( \alpha \subset \{1,\dots,n\} \) を考える。(a) なぜ各 k = 1,2,... に対して \(\m...

7.1.問題26問題 7.1.P26　 \( A \in M_n \) の Hermitian 部分 \( H(A) \) が半正定値であり、かつ \(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,H(A)\) である...

7.1.問題25問題 7.1.P25　 \( A \in M_n \) が半正定値であり、\( n = km \) とする。行列 \( A \) を k×k のブロック行列A = _{i,j=1}^{k}として、各ブロックは \(m×m\)...

7.1.問題24問題 7.1.P24　 行列A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^* & A_{22} \end{bmatrix} \in M_nが半正定値であるとする。式 (7.1.1...

7.1.問題23問題 7.1.P23　 行列A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}を考える。Hermitian 部分 \( H(A) \) が正定値であることを示せ。したがって、式...