7.正定値および半正定値行列

7.3.3定理：特異値とエルミート行列の固有値の関係\( A \in M_{n,m} \) とし、\( q = \min\{n, m\} \)、さらに \( \sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_q \) を \( ...

7.3.2定理（薄い特異値分解と標準特異値分解）\( A \in M_{n,m} \) とし、\( q = \min\{n,m\} \)、\( r = \mathrm{rank}\,A \) とする。次を仮定する：\( A^{*}A = W...

7.3.1定理（極分解）\( A \in M_{n,m} \) とする。(a) \( n \lt m \) の場合、\( A = PU \) と分解できる。ただし、\( P \in M_n \) は半正定値行列であり、\( U \in M_...

7.2.問題367.2.P36　関数 \(\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot) : M_n \times M_n \to \mathbb{C}\) をウィグナー・ヤナゼ相関として\mathrm{Corr}_R(X, Y...

7.2.問題357.2.P35　\( A, B \in M_n \) をエルミート行列（量子系の観測量）とする。交換子 \( = AB - BA\) と Jordan 積 \(\rceil A, B \lceil = AB + BA\) を...

7.2.問題347.2.P34　\( R \in M_n \) をエルミートかつ半正定値で \(\mathrm{tr} R = 1\)（密度行列）とする。関数 \(\mathrm{Cov}_R(\cdot, \cdot) : M_n \ti...

7.2.問題337.2.P33　\( A, B \in M_n \) の Jordan 積を \(\rceil A, B \lceil = AB + BA\) とし、交換子を \( = AB - BA\) とする。Jordan 積は反交換子...

7.2.問題327.2.P32　\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) を \(\mathbb{C}^n\) 上の内積とし、標準直交正規基底 \( B = \{ e_1, \dots, e_n \} \) に対する...

7.2.問題317.2.P31　\( A = \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称かつ正定値行列とし、非対角成分 \( i \ne j \) について \( a_{ij} \le 0 \) とする。このとき \( A^{-1...

7.2.問題307.2.P30　\( A, B \in M_n \) をエルミート行列とする。(a) \( A \) が正定値である場合、\( AB \) は実対角行列に相似である。さらに、\( AB \) と \( B \) の正、負、ゼ...

7.2.問題297.2.P29　\( n \ge 2 \) とし、\( A = \in M_n \) を相関行列とする。(a) 任意の異なるインデックス \(i, j\) に対して \( |a_{ij}| \le 1 \) であり、\(A\...

7.2.問題287.2.P28　\( A \in M_n \) を半正定値とし、\( A = B^* B \) と表す（7.2.7 参照）。\( B = \)。(a) A が相関行列であることと、各 \( b_j \) が単位ベクトルである...

7.2.問題277.2.P27　\( A_1, \dots, A_m \in M_n \) を半正定値とする。次の不等式を示せ：\left\| \sum_{i=1}^m A_i \right\|_2^2 \ge \sum_{i=1}^m \...

7.2.問題267.2.P26　\( A, B \in M_n \) を半正定値とする。次を示せ：(a) \( 0 \le \mathrm{tr} AB \le \|A\|_2^2 \mathrm{tr} B \)。(b) \( \sqrt...

7.2.問題257.2.P25　\( A \in M_n \) を半正定値とし、\( n = k m \) とする。\(A\) を \(m×m\) ブロックからなる \(k×k\) ブロック行列として分割し、各ブロックを \( A_{ij}...

7.2.問題247.2.P24　\( A \in M_n \) を半正定値行列とする。\( A = X^* X \) と表すことができ、これは列ベクトルからなる Gram 行列である（7.2.7a 参照）。\( k \in \{1, \do...

7.2.問題237.2.P23　\( A, B \in M_n \) を正定値とする。行列G(A,B) = A^{1/2} ( A^{-1/2} B A^{-1/2} )^{1/2} A^{1/2}は \( A \) と \( B \) の...

7.2.問題227.2.P22　\( A, G, H \in M_n \) を正定値とし、\( G A G = H A H \) が成り立つとする。このとき \( G = H \) であることを示せ。(a) \( X = A^{1/2} G...

7.2.問題217.2.P21　\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。(a) \( A \) と \( B \) が可換なら、\( AB \) はエルミートで半正定値であることを示せ。(b) \( AB \) がエルミ...

7.2.問題207.2.P20　\( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。定理 4.5.8 によれば、非特異な行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A = S B S^* \) となる。(a) \( S =...

7.2.問題197.2.P19　\( A \in M_n \) を正定値、\( x \in \mathbb{C}^n \) を単位ベクトルとする。 (a) \((x^* A x)^{-1} \le x^* A^{-1} x\) であり、等号...

7.2.問題187.2.P18　\( A \in M_n \) が正則である場合、次の行列B = A + A^{-*}が正則であることを示せ。

7.2.問題177.2.P17　\( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が正定値であるとする。このときC = A + B + B^* + B A^{-1} B^*が半正定値であることを示せ。\( n = 1 \) の場合...

7.2.問題167.2.P16　\( A \in M_n \) を正定値で、スカラー行列でないとする。スペクトルノルムに対する条件数 \(\kappa(A + t I)\) が \( t \in [0, \infty) \) に関して単調減...

7.2.問題157.2.P15　\( A \in M_n \) を半正定値とし、固有値を \(\mu_1 \le \cdots \le \mu_n\) とする。\( z \in \mathbb{C}^n \) は 0 でないベクトルとする。...

7.2.問題147.2.P14　\( r \in \mathbb{C} \) を 0 でない複素数とし、対称テプリッツ行列（ガウス行列とも呼ばれる）G(r,n) = _{i,j=1}^{n} \in M_nを考える。次の手順で \( D_n...

7.2.問題137.2.P13　もし \( r = \pm 1 \) であるなら、前問のマルコフ行列 \( M(r,n) \) が対称かつ三重対角の逆行列を持つ理由を説明せよ。また、\((1 - r^2) M(r,n)^{-1}\) の主対...

7.2.問題127.2.P12　\( r \in \mathbb{C} \) を 0 でない複素数とし、対称テプリッツ行列（マルコフ行列とも呼ばれる）をM(r,n) = _{i,j=1}^{n} \in M_n(\mathbb{R})とする...

7.2.問題117.2.P11　\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。 (a) \( A \) が正定値であることは、\(\operatorname{adj} A\) が正定値かつ \(\det A \gt 0\) である...