7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P20]
7.8.問題20問題 7.8.P20問題 7.8.P16、7.8.P17、および 7.8.P18 の結果から、それぞれ不等式 (7.8.20)、(7.8.25)、(7.8.28) を導け。(7.8.20)\det H \le \lvert ...
7.正定値および半正定値行列
7.正定値および半正定値行列 7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P19]
7.8.問題19問題 7.8.P19（式 (7.8.22) の別証）\( H, K \) が正定値であるとき、次の主張を示せ：(\det H)^{1/n} + (\det K)^{1/n} \le (\det(H + K))^{1/n}.こ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P18]
7.8.問題18問題 7.8.P18（式 (7.8.28) の類似形）次の主張を示せ：| \det H |^{2/n} + | \det K |^{2/n} \le | \det A |^{2/n}.これを証明するためには、次を示せば十分で...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P17]
7.8.問題17問題 7.8.P17（式 (7.8.25) の類似形）次の主張を示せ：\(| \det H | + | \det K | \le | \det A |\) （ただし \( n \ge 2 \)）。これを証明するためには、次の...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P16]
7.8.問題16問題 7.8.P16（式 (7.8.20) の類似形）次の主張を示せ：\(| \det H | \le | \det A |\)。これを証明するためには、次の不等式を示せば十分であることを説明し、それを証明せよ。\prod_...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P15]
7.8.問題15問題 7.8.P15次を確認せよ：| \det H | = | \det S |^2 | \det \Lambda | = | \det S |^2 \prod_{j=1}^n | \cos \theta_j |,| \de...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P14]
7.8.問題14問題 7.8.P14行列 \( A = H + iK \) の実部 \( H \) および虚部 \( K \) に関する行列式の不等式を扱う。ここで \( A \) は可逆であり、∗合同変換（∗congruence）によって...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P13]
7.8.問題13問題 7.8.P13 \( A = \in M_n \) を正定値行列とし、その固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。式 (1.2.14) で定義される \( k \) 次の...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P12]
7.8.問題12問題 7.8.P12 \( A = \in M_n \) を正定値行列とし、次のように分割する：A =\begin{bmatrix}A_{11} & x \\x^* & a_{nn}\end{bmatrix},\quad A...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P11]
7.8.問題11問題 7.8.P11\( A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^* & A_{22} \end{bmatrix} \) が正定値であるとする。シューア補行列に対する逆フィ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P10]
7.8.問題10問題 7.8.P10 \( A \in M_n \) を正定値行列とし、\( u_1, \ldots, u_n \in \mathbb{C}^n \) が直交正規系であるとする。前問の結果を用いて、次が成り立つことを示せ：u...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P9]
7.8.問題9問題 7.8.P9 \( A \in M_n \) を正定値行列とする。このとき次を示せ：\det A = \min \left\{ \prod_{i=1}^n v_i^* A v_i : v_1, \ldots, v_n \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P8]
7.8.問題8問題 7.8.P8 \( A = \in M_n \) とする。(a) アダマールの不等式を用いて、次の不等式を導け（これはフレドホルム積分方程式の理論における有名な不等式である）：|\det A| \le \|A\|_\in...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P7]
7.8.問題7\( A = \in M_3(\mathbb{R}) \) とし、すべての成分が \( |a_{ij}| \le 1 \) を満たすとする。このとき、 \( |\det A| \le 3\sqrt{3} \) であり、この上限...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P6]
7.8.問題6問題 7.8.P6 \( H = \begin{bmatrix} A & B \\ B^* & C \end{bmatrix} \in M_n \) が正定値であるとする。 \( H = LL^* \) をコレスキー分解（式 ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P5]
7.8.問題5問題 7.8.P5 次のブロック行列が正定値であると仮定する：H_+ =\begin{bmatrix}A & B \\B^* & C\end{bmatrix}(a) 次の行列も正定値であることを示せ：H_- =\begin{b...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P4]
7.8.問題4問題 7.8.P4 \( A \in M_n \) を正定値行列とし、関数 \( f(A) = (\det A)^{1/n} \) と定義する。(a) 次を示せ：f(A) = \min \left\{ \frac{1}{n} ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P3]
7.8.問題3問題 7.8.P3 \( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。このとき、次の3つの条件が同値であることを示せ。(a) \( A \circ B = AB \) (b) \( \det(A \circ B) = ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P2]
7.8.問題2問題 7.8.P2 \( A = _{i,j=1}^n \in M_{nk} \) とし、各ブロック \( A_{ij} \in M_k \) とする。このとき、アダマールの不等式 (7.8.2) のブロック行列版を次のように...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.P1]
7.8.問題1問題 7.8.P1\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。もし \( A \) が正定値で、かつ \( B \) の対角成分がすべて正であるとき、式 (7.8.17) を用いて \( A \circ B \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8]問題集
7.8.問題集問題 7.8.P1\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。もし \( A \) が正定値で、かつ \( B \) の対角成分がすべて正であるとき、式 (7.8.17) を用いて \( A \circ B \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.27]定理：ファンの行列式不等式
7.8.27 ファンの行列式不等式（Fan’s Determinant Inequality）定理 7.8.27（ファンの行列式不等式） \( H, K \in M_n \) をエルミート行列とし、\( A = H + iK \) とする。...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.24]定理：Hermitian 行列に対する拡張オストロフスキー–タウスキー不等式
7.8.24 定理(Hermitian 行列に対する拡張オストロフスキー–タウスキー不等式)定理 7.8.24．\( n \ge 2 \) とし、\( H, K \in M_n \) を Hermitian 行列とする。さらに \( A =...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.21]定理：ミンコフスキーの行列式不等式
7.8.21 ミンコフスキーの行列式不等式定理 7.8.21（ミンコフスキーの行列式不等式）\( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。このとき次の不等式が成り立つ。 (7.8.22)(\det A)^{1/n} + (\de...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.19]定理：オストロフスキー＝タウスキーの不等式
7.8.19 定理（オストロフスキー＝タウスキーの不等式）\( H, K \in M_n \) をエルミート行列とし、\( A = H + iK \) とする。もし \( H \) が正定値であるならば、次の不等式が成り立つ。(7.8.20...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.16]定理：オッペンハイム＝シュールの不等式
7.8.18 定理（オッペンハイム＝シュールの不等式）\( A = , \, B = \in M_n \) を半正定値行列とする。このとき、次の不等式が成り立つ。 (7.8.17)\max \{ a_{11} \cdots a_{nn} \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.15]補題：半正定値行列の部分行列に基づく変形
7.8.15 補題：半正定値行列の部分行列に基づく変形\( A = \in M_n \) を半正定値行列とし、次のように分割する：A =\begin{bmatrix}a_{11} & x^{*} \\x & A_{22}\end{bmatr...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.11]定理：サースの不等式
7.8.11 定理（サースの不等式）定理 7.8.11（Szászの不等式）．\( A \in M_n \) を正定値行列とする。このとき、各 \( k = 1, \ldots, n - 1 \) に対して次の不等式が成り立つ。 P_{k+...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.9]定理：コテリャンスキー（Koteljanski）の不等式
7.8.9 定理 7.8.9（コテリャンスキーの不等式）定理 7.8.9（Koteljanskiの不等式）．\( A \in M_n \) を正定値行列とし、\( \alpha, \beta \subset \{1, \ldots, n\}...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.8.8]補題：正定値行列に対する部分行列式の不等式
7.8.8 補題：正定値行列に対する部分行列式の不等式補題 7.8.8．\( B \in M_m \) を正定値行列とする。集合 \( \alpha, \beta \subset \{1, \ldots, m\} \) について、\( \a...