7.正定値および半正定値行列

7.1.6　半正定値行列におけるゼロ二次形式と零化条件観察 7.1.6. A ∈ Mn を半正定値行列、x ∈ Cn を任意のベクトルとする。このとき、x∗ A x = 0 であるのは、かつその場合に限り Ax = 0 である。証明非零ベク...

7.1.5　正定値・半正定値行列のトレース・行列式・主小行列式の性質系 7.1.5. A ∈ Mn を半正定値（それぞれ正定値）行列とする。このとき、tr A、det A、および A の主小行列式はすべて非負（それぞれ正）である。また、tr...

7.1.4　正定値・半正定値行列の固有値の性質観察 7.1.4. 正定値（それぞれ半正定値）行列の各固有値は正（それぞれ非負）の実数である。証明正半定値行列 \( A \) の固有値・固有ベクトルの組を \( (\lambda, x) \)...

7.1.3　正定値・半正定値行列の線形結合に関する性質次の観察は、半正定値行列や正定値行列を非負の実数で線形結合したとき、その性質が保持されることを示している。観察 7.1.3\( A_1, A_2, \ldots, A_k \in M_n...

7.1.2　正定値・半正定値行列の主小行列に関する性質次の観察は、エルミート行列における正定値性や半正定値性が、その主小行列（principal submatrix）にも引き継がれることを示している。観察 7.1.2\( A \in M_n...

参考文献実対称正定値行列に関する短い概説としては、以下の文献がある。C. R. Johnson, “Positive definite matrices,” Amer. Math. Monthly, 77 (1970), 259–264.正...

7.0.問題37.0.P3　三重対角行列 \(A\) の性質式 (7.0.5.1) における行列 \(A\) が常に既約（irreducible）であることを示せ。また、関数 \(\sigma\) が非負である場合、\(A\) が既約な対角...

7.0.問題27.0.P2　ハンケル行列とテプリッツ行列の対角線構造ハンケル行列においてどの対角線が一定であるかを示すスケッチを描け。同様に、テプリッツ行列の場合もスケッチを描け。

7.0.問題17.0.P1　非負関数によって生成される数列に関する二次形式もし数列 \( a_k \) が、非負関数 \( f \) によって次の式a_k = \int_0^1 x^k f(x)\,dxで生成されるならば、次の二つの二次形式...

7.0.問題集ここでは、第7章の導入で述べた「正の性質をもつエルミート行列」に関連する演習問題と、より深い学習のための参考文献を示す。7.0.P1　非負関数によって生成される数列に関する二次形式もし数列 \( a_k \) が、非負関数 \...

7.0.5　次のような2点境界値問題を考える。- y''(x) + \sigma(x) y(x) = f(x), \quad 0 \le x \le 1y(0) = \alpha, \quad y(1) = \betaここで、\(\alph...

7.0.4　非負関数の三角モーメント\( f \) を区間 \(\) 上の実数値・絶対可積分関数とし、次の値を考える。a_k = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{ik\theta} f(\theta)\,...

7.0.3区間 \(\) 上で絶対可積分な実数値関数 \( f \) を考える。このとき、次の数列を定義する。a_k = \int_{0}^{1} x^{k} f(x) \, dx数列 \( a_0, a_1, a_2, \ldots \)...

7.0.2実または複素の確率変数 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) が、有限の2次モーメントをもつ確率空間上で定義されているとする。このとき、期待値作用素を \( E \) とし、各確率変数の平均を \( \mu_i ...

7.0.1.ヘッセ行列、最小化、および凸性滑らかな実数値関数 \( f \) を、ある領域 \( D \subset \mathbb{R}^n \) 上で考える。もし \( y = \) が \( D \) の内部点であるなら、テイラーの定...