7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.6]問題集
7.6.問題集7.6.P1. \(A \in M_n\) とする。次の命題が同値であることを示せ： (a) \(A\) はエルミート行列に相似である。(b) \(A\) は対角化可能であり、固有値はすべて実数である。(c) \(A = HK...
行列解析
7.正定値および半正定値行列 
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.6.10]定理：正定値エルミート行列に対する逆行列のトレースの凸性
7.6.10 正定値エルミート行列に対する逆行列のトレースの凸性定理7.6.10. 関数 \(f(A) = \operatorname{tr} A^{-1}\) は、正定値エルミート行列の凸集合上で厳密に凸である。 証明. \(A, B \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.6.8]系：正定値行列における行列式の算術・幾何平均不等式
7.6.8 正定値行列における行列式の算術・幾何平均不等式系7.6.8. \(A, B \in M_n\) を正定値行列とし、\(0 \lt \alpha \lt 1\) とする。このとき次の不等式が成り立つ： \det(\alpha A ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.6.6]定理：正定値エルミート行列上の対数行列式の厳密凹性
7.6.正定値エルミート行列上の対数行列式の厳密凹性定理7.6.6. 関数 \(f(A) = \log \det A\) は、\(M_n\) における正定値エルミート行列の凸集合上で厳密凹関数である。 証明. \(A, B \in M_n\...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.6.5]定理：半正定値・正定値エルミート行列の対角化と複素対称行列の応用
7.6.半正定値・正定値エルミート行列の対角化と複素対称行列の応用定理7.6.5. \(A, B \in M_n\) とする。もし \(A\) が正定値で \(B\) が複素対称行列であるなら、非特異行列 \(S \in M_n\) が存在...