行列解析

1.3.問題291.3.P29 \(A = \in M_n\) とし、各 \(a_{ii} = 0\)（\(i=1,\dots,n\)）かつ、すべての \(i \neq j\) について \(a_{ij} \in \{-1,1\}\) と仮...

1.3.問題281.3.P28 \(A \in M_{m,n}, B \in M_{n,m}\) が与えられているとする。このとき次を証明せよ：\det(I_m + AB) = \det(I_n + BA)

1.3.問題271.3.P27（1.3.P26 の続き） \(A = \in M_{mn}\) を与えられた \(m \times m\) ブロック行列とし、各ブロック \(A_{kl} = \in M_n\) が上三角行列であると仮定する...

1.3.問題261.3.P26 \(e_1, \dots, e_n\) および \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m\) を、それぞれ \(\mathbb{C}^n\) および \(\mathbb{C}...

1.3.問題251.3.P25 \(x, y \in \mathbb{C}^n\) が与えられ、\(y^*x \neq -1\) と仮定する。(a) 次を確認せよ：(I + xy^*)^{-1} = I - cxy^*, \quad c =...

1.3.問題241.3.P24 整数 \(n \geq 3\) に対し、\(\theta = \frac{2\pi}{n}\) とおく。行列 \(A = _{j,k=1}^n \in M_n(\mathbb{R})\) を考える。このときA...

1.3.問題231.3.P23 \(B \in M_n\)、\(C \in M_{n,m}\) とし、次の行列を定義する：A = \begin{bmatrix} B & 0 \\ C & 0_m \end{bmatrix} \in M_{n...

1.3.問題221.3.P22 行列 \(A, B \in M_n\) に対して、\(A\) と \(B\) が相似であるための必要十分条件は、少なくとも一方が正則であるような行列 \(X, Y \in M_n\) が存在して、次を満たすこ...

1.3.問題211.3.P21 前問と同じ記法を用いる。次を定義する：R_2(A) =\begin{bmatrix}A_1 & A_2 \\A_2 & -A_1\end{bmatrix}\in M_{2n}(\mathbb{R}).さらに、...

1.3.問題201.3.P20 任意の \( A, B \in M_n \) を、\( A = A_1 + i A_2 \)、\( B = B_1 + i B_2 \) と表す。ただし \( A_1, A_2, B_1, B_2 \in M...

1.3.問題191.3.P19 \( B, C \in M_n \) とし、次を定義する。A = \begin{pmatrix} B & C \\ C & B \end{pmatrix} \in M_{2n},\quadQ = \frac{...

1.3.問題181.3.P18 \( A, B \in M_n \) が共反転行列（coninvolutory）、すなわち \( A \, \overline{A} = B \, \overline{B} = I \) であるとする。このと...

1.3.問題171.3.P17 \( A, B \in M_n \) が与えられたとき、次が同値であることを証明せよ：(i) 正則行列 \( T \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して \( A = TBT^{-1} \)...

1.3.問題161.3.P16 \( A \in M_n \) で \( n > \mathrm{rank}\,A = r \geq 1 \) とする。もし \( A \) が \( B \oplus 0_{n-r} \) （\( B \i...

1.3.問題151.3.P15 \( A \in M_n \) と多項式 \( p(t) \) が与えられたとする。もし \( A \) が対角化可能ならば、\( p(A) \) も対角化可能であることを示せ。逆は成り立つか？

1.3.問題141.3.P14 \( A \in M_n \) が対角化可能であるとする。(a) \( A \) の階数が、その非零固有値の個数に等しいことを証明せよ。(b) \( \mathrm{rank}\,A = \mathrm{ra...

1.3.問題131.3.P13 2つの対角化可能な行列が相似であることと、それらの特性多項式が等しいことが同値であることを示せ。両方が対角化可能でない場合にもこの主張は成り立つか？

1.3.問題121.3.P12 \( A, B \in M_n \) とし、\( A \) または \( B \) が正則であるとする。もし \( AB \) が対角化可能ならば、\( BA \) も対角化可能であることを示せ。さらに、A ...

1.3.問題111.3.P11 次の (1.3.19) の別証明について詳細を示せ。(a) \( A, B \in M_n \) が可換で、\( x \neq 0 \)、かつ \( Ax = \lambda x \) とする。ベクトル列x,...

1.3.問題101.3.P10 \( A \in M_n \) が与えられ、\(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) が \( A \) の互いに異なる固有値であるとする。各 \( i = 1, 2, \ldots,...

1.3.問題91.3.P9 次の特異行列 \( A \) と \( B \) を考える。A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}, \quadB = \begin{pmatrix}0 & 1...

1.3.問題81.3.P8 \( A, B \in M_n \) であり、少なくとも一方が異なる固有値を持つ場合（もう一方については対角化可能性すら仮定しない）、次の幾何学的議論の詳細を示せ。すなわち、\( A \) と \( B \) が...

1.3.問題71.3.P7 \( A \in M_n \) が \( B \in M_n \) の平方根であるとは、\( A^2 = B \) が成り立つことをいう。すべての対角化可能な \( B \in M_n \) が平方根を持つことを...

1.3.問題61.3.P6 (a) \( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) のとき、\( p_{\Lambda}(\Lambda) \) が零行列であることを示...

1.3.問題51.3.P5 同時に対角化できないが、可換である2つの行列の例を挙げよ。これは (1.3.12) に反するだろうか。その理由も述べよ。

1.3.問題41.3.P4 \( A \in M_n \) が互いに異なる固有値 \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \) を持ち、与えられた行列 \( B \in M_n \) と可換であるとき、\( B \) が...

1.3.問題31.3.P3 \( A \in M_n \)、\( SAS^{-1} = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \)、および \( p(t) \) が多項式...

1.3.問題21.3.P2 \( A, B \in M_n \) であり、かつ \( A \) と \( B \) が可換であるとき、\( A \) の任意の多項式が \( B \) の任意の多項式と可換であることを示せ。

1.3.問題11.3.P1 \( A, B \in M_n \) とする。\( A \) と \( B \) が対角化可能であり、かつ可換であると仮定する。\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambd...

定理 1.3.31（Mirsky）. 整数 \( n \geq 2 \) および複素数 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\)、\(d_1, \dots, d_n\) が与えられているとする。次が成り立つ：固有値が ...