2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.5]正規行列 (Normal matrices)
2.5ユニタリ相似（unitary similarity）の文脈で自然に現れる正規行列のクラスは、行列解析において広く重要な役割を果たします。正規行列には、ユニタリ行列、エルミート行列、反エルミート行列、実直交行列、実対称行列、および実反対...
行列解析
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p35]
2.4.問題352.4.P35\( A \in \mathbb{M}_n(F) \) （\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）とする。\( A \) が \( \mathbb{M}_n(F) \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p34]
2.4.問題342.4.P34\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2 \) に対して、明示的に計算をしてケイリー・ハミルトンの定理、A^2 -...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p33]
2.4.問題332.4.P33\( A, B \in \mathbb{M}_n \)、\( p \) は正の整数とする。\( A \) がブロック上三角形行列でA = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p32]
2.4.問題322.4.P32\( A, B \in \mathbb{M}_n \)、\( C = AB - BA \) とする。なぜ\operatorname{tr} C \neq 0であることはありえないか説明せよ。特に、\( c \n...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p31]
2.4.問題312.4.P31\( A \in \mathbb{M}_n \) のすべての固有値がゼロであるならば、(2.4.3.2)を用いて \( A^n = 0 \) を証明せよ。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p30]
2.4.問題302.4.P30\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( p(t) \) を次数が \( n \) より大きい多項式とする。ユークリッドの互除法（多項式の割り算）を用いて、p(t) = h(t) p_A(t...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p29]
2.4.問題292.4.P29\( A \in \mathbb{M}_n \)、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) は非零ベクトルで、\( A x = \lambda x \)、\( y^* A = \lambda y^...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p28]
2.4.問題282.4.P28\( A \in \mathbb{M}_n \) が特異行列で、\( r = \mathrm{rank} A \) とする。このとき次数が高々 \( r+1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p27]
2.4.問題272.4.P27\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( A = B C \)、かつ \( B, C^T \in \mathbb{M}_{n,k} \) とする。このとき、(2.4.3.2) を用いて次数が...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p26]
2.4.問題262.4.P26\( B \in \mathbb{M}_{n,k} \), \( C \in \mathbb{M}_{k,n} \) とする。任意の多項式 \( p(t) \) について次を示せ。B C p(B C) = B ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p25]
2.4.問題252.4.P25\( A, B \in \mathbb{M}_2 \)、\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \lambda_2 \) とする。1.\( A \) は次の形の行列にユニタリ相似であることを示せ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p24]
2.4.問題242.4.P24\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とするとき、余因子行列 \( \mathrm{adj} A \) の固有値は\...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p23]
2.4.問題232.4.P23\( T = \in \mathbb{M}_n \) が上三角行列のとき、\( \mathrm{adj} T = \) も上三角行列であり、対角成分は\tau_{ii} = \prod_{j \neq i} t...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p22]
2.4.問題222.4.P22\( A \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( \mu_1, \ldots, \mu_d \)（重複度はそれぞれ \( \nu_1, \ldots, \nu_d \)）を持つとする。モ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p21]
2.4.問題212.4.P21\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。ハンケル行列K = _{i,j=1}^nは \( A \) に対応する...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p20]
2.4.問題202.4.P20\( A, B \in \mathbb{M}_n \) で \( AB = 0 \) とし、\( C = AB - BA = -BA \) とする。2つの非可換変数の多項式 \( p(s,t) \) を考える。...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p19]
2.4.問題192.4.P19\( n \geq 3 \), \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) とする。\( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p18]
2.4.問題182.4.P18行列 \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_n \)、ただし \( A_{11} \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p17]
2.4.問題172.4.P17行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) とし、\( A, B \) によって生成される部分代数 \( \mathcal{A}(A,B) \) を考える（(1.3.P36)参照）。これは \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p16]
2.4.問題162.4.P16\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2 \) の固有値を \( \lambda \) とする。\( \mu = ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p15]
2.4.問題152.4.P15行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) に対し、2つの複素変数の多項式をp_{A,B}(s,t) = \det(t B - s A)と定める。\( A, B \) が同時に三角化可能で、\...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p14]
2.4.問題142.4.P14行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) がランク \( r \) であるとする。\( A \) はユニタリ相似変換により、最初の \( r \) 行が線形独立で残りの \( n-r \) 行が零...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p13]
2.4.問題132.4.P13線形行列方程式 \( A X - X B = C \) に関する (2.4.4.1) の別証明の詳細を示せ。行列 \( A \in \mathbb{M}_n \), \( B \in \mathbb{M}_m ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p12]
2.4.問題122.4.P12行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) と交換子 \( C = AB - BA \) を考える。この問題では、\( C \) が \( A \) または \( B \)、あるいは両方と交換...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p11]
2.4.問題112.4.P11行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) とそれらの交換子 \( C = AB - BA \) を考える。\(\mathrm{tr} C = 0\) を示せ。行列A = \begin{pma...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p10]
2.4.問題102.4.P10行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) が同じ特性多項式（従って同じ固有値）を持つことは、すべての \( k=1,2,\ldots,n \) について\mathrm{tr}\, A^k =...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p9]
2.4.問題92.4.P9単項式多項式 \( p(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0 \) を零点 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を持つとす...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p8]
2.4.問題82.4.P8McCoyの定理の精神に則った観察は、2つの行列がユニタリ相似でないことを示すのに有効な場合がある。複素係数の2つの非可換変数の多項式 \( p(t, s) \) を考え、行列 \( A, B \in \mathb...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.4.p7]
2.4.問題72.4.P7(2.3.P6) の判定法を用いて、(2.4.8.4) の2つの行列が同時に上三角化できないことを示せ。また同じ検査を (2.4.P6) の2つの行列に適用せよ。