行列解析

2.5.問題422.5.P42 \( A, B \in M_n \) とし、\(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を \( A \) の固有値とする。次で定義される量 \delta(A) = \mathrm{tr...

2.5.問題412.5.P41 \( z \in \mathbb{C}^n \) を非零ベクトルとし、\( z = x + iy \) と書く。ただし \( x, y \in \mathbb{R}^n \) である。(a) 次の3つの命題が...

2.5.問題402.5.P40 \( A = \begin{bmatrix}0 & B \\ 0 & 0\end{bmatrix} \in M_4 \)、ただし \( B = \begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1\e...

2.5.問題392.5.P39 \(U \in M_{n}\) がユニタリとする。このときすべての固有値の絶対値は1である。(a) \(U\) が対称なら、その固有値は (2.5.19.1) の表現を（対角成分の順列を除いて）一意に定めるこ...

2.5.問題382.5.P38 \(A = \in M_{n}\)、\(C = AA^{*} - A^{*}A\) とする。 (a) \(C\) がエルミートである理由と、\(C\) が零行列と同値に冪零である理由を説明せよ。 (b) \(...

2.5.問題372.5.P37 \(n \geq 2\) とし、 A = \begin{bmatrix} a & x^{*} \\ y & B \end{bmatrix} \in M_{n}, ただし \(B \in M_{n-1}, x,...

2.5.問題362.5.P36 任意の \(A \in M_{n}\) に対して、 \begin{bmatrix} A & A^{*} \\ A^{*} & A \end{bmatrix} \in M_{2n} が正規であることを示せ。した...

2.5.問題352.5.P35 零でないベクトル \(x, y \in \mathbb{C}^{n}\) を考える。 (a) \(xx^{*} = yy^{*}\) であることと、ある実数 \(\theta\) が存在して \(x = e^...

2.5.問題342.5.P34 \(A \in M_{n}\)、零でないベクトル \(x \in \mathbb{C}^{n}\) を考える。もし \(x\) が \(A\) の右固有ベクトルかつ左固有ベクトルであるとき、\(x\) を \...

2.5.問題332.5.P33 \(F \subseteq M_{n}\) が可換な正規行列族であるとする。このとき1つのエルミート行列 \(B\) が存在し、各 \(A_{\alpha} \in F\) に対して次数高々 \(n-1\) ...

2.5.問題322.5.P32 実直交行列 \(A \in M_{3}(\mathbb{R})\) を考える。このとき \(A\) は1つまたは3つの実固有値をもつ。もし \(\det(A) \gt 0\) なら、(2.5.11) を用いて...

2.5.問題312.5.P31 実正規行列 \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\)、すなわち \(AA^{T} = A^{T}A\) とする。もし \(AA^{T}\) が \(n\) 個の異なる固有値をもつなら、\(A\)...

2.5.問題305.P30 任意の \(A \in M_{n}\) に対して、すべての \(x, y \in \mathbb{C}^{n}\) について次が成り立つことと \(A\) が正規であることは同値であることを示せ： (Ax)^{*...

2.5.問題292.5.P29 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{2}\) とし、\(bc \neq 0\) と仮定する。 (a) \(A\) が正規であるこ...

2.5.問題282.5.P28 エルミート行列 \(A, B \in M_{n}\) が与えられ、\(AB\) が正規であると仮定する。 (a) なぜ \(BA\) も正規なのかを説明せよ。 (b) \(A\) が \(B^{2}\) と可...

2.5.問題272.5.P27 (a) \(A, B \in M_{n,m}\) とする。もし \(AB^{*}\) と \(B^{*}A\) がともに正規なら、\(BA^{*}A = AA^{*}B\) であることを示せ。(b) \(A ...

2.5.問題262.5.P26 \(A \in M_{n}\) が与えられたとする。(a) ある多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\) ならば、\(A\) は正規であることを示せ。(b) \(A\) が正規な...

2.5.問題252.5.P25 \(A \in M_{n}, B \in M_{m}\) が正規であり、\(X \in M_{n,m}\) が与えられたとする。このとき \(\overline{B}\) が正規である理由を説明し、次が成り立...

2.5.問題242.5.P24 \(A \in M_{n}\) が正規かつ冪零ならば、\(A = 0\) であることを示せ。

2.5.問題232.5.P23 次の2つの行列はどちらも対称であるが、一方は正規であり他方は正規ではないことを示せ。これは実対称行列と複素対称行列の重要な違いである。 \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{...

2.5.問題222.5.P22 (2.5.6) を用いて、複素エルミート行列の特性多項式は実係数をもつことを示せ。

2.5.問題212.5.P21 \(A \in M_{n}\) が正規であるとする。このとき、\(Ax = 0 \iff A^{*}x = 0\)、すなわち \(A\) の零空間は \(A^{*}\) の零空間と一致することを示せ。一方、非...

2.5.問題202.5.P20 \(A \in M_{n}\) が正規であり、\(x \in \mathbb{C}^{n}\) が固有値 \(\lambda\) に対応する右固有ベクトルであるとする。(2.5.P1) および (2.5.P1...

2.5.問題192.5.P19 \(A \in M_{n}\) と \(a \in \mathbb{C}\) が与えられたとする。(2.5.1) の定義を用いて、\(A\) が正規であることと \(A + aI\) が正規であることは同値で...

2.5.問題182.5.P18 \(A \in M_{n}\) に対し、ある零でない多項式 \(p(t)\) が存在して \(p(A)\) が正規であるとする。このとき \(A\) 自身が正規であることは従うか。

2.5.問題172.5.P17 \(A \in M_{n}\) が正規であり、\(p(t)\) が与えられた多項式であるとする。(2.5.1) を用いて \(p(A)\) が正規であることを示せ。また (2.5.3) を用いた別の証明を与え...

2.5.問題162.5.P16 \(U, V, \Lambda \in M_{n}\) で \(U, V\) がユニタリなら、\(U \Lambda U^{*}\) と \(V \Lambda V^{*}\) はユニタリに相似であることを示...

2.5.問題152.5.P15 2つの正規行列が相似であることと、それらが同じ特性多項式をもつことは同値であることを示せ。正規行列であるという仮定を取り除いた場合、この命題は成り立つかどうかを考察せよ。次の例を考えよ。 \begin{bma...

2.5.問題142.5.P14 実行列 \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\) が与えられたとする。このとき、\(A\) が正規であり、かつ固有値がすべて実数であることと、\(A\) が対称行列であることは同値である理由を説...

2.5.問題132.5.P13 (2.5.P12) を用いて、\(A \in M_{n}\) が正規であることと、あるユニタリ行列 \(V \in M_{n}\) が存在して \(A^{*} = AV\) となることは同値であることを示せ。...