行列解析

4.4.問題304.4.P30なぜ \(A \in M_n\) の次の性質が相似不変量（すなわち、相似同値類の一つの行列が持つ場合、その類のすべての行列が持つ）であるか説明せよ：\(A = BC\) と書け、かつ一方の因子が対称、他方が斜対...

4.4.問題294.4.P29\(A_{ij} \in M_n, i,j=1,2\) とし、\(A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \in...

4.4.問題284.4.P28\(A \in M_n\) とする。なぜ \(\det(I + A \overline{A})\) が実数かつ非負であるか示せ。

4.4.問題274.4.P27\(A = \in M_n\) を対称行列とし、\(A = U \Sigma U^T\) と表す。ただし、\(U = \) はユニタリ行列、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, ...

4.4.問題264.4.P26実行列 \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\) が複素直交行列で相似であることと、実直交行列で相似であることが同値であることを示せ。

4.4.問題254.4.P25対称行列 \(A \in M_n\) の固有値・固有ベクトルペアを \((\lambda, x)\) とする。(a) なぜ \(\overline{x}\) が \(A\) の左固有ベクトルとなるか説明せよ。(...

4.4.問題244.4.P24\(\lambda\) を \(A \in M_n\) の固有値とする。右固有ベクトル \(x\) と左固有ベクトル \(\overline{x}\) を考える。(a) \(x\) が等方的 (0.2.5) で...

4.4.問題234.4.P23\(A \in M_n\) がテプリッツ行列、\(K_n \in M_n\) が逆行列とする。なぜ \(A = (K_n U) \Sigma U^T\) の特異値分解を持つか、ユニタリ行列 \(U \in M_...

4.4.問題224.4.P22\(A \in M_n\) が対称で \(A^2 = I\) とする。なぜ複素直交行列 \(Q \in M_n\) と整数 \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) が存在して、\(A = Q(-I_...

4.4.問題214.4.P21実ジョルダンブロック \(C_m(a,b)\) と逆行列 \(K_{2m}\)（0.9.5.1）を考える。なぜ \(\hat{C}_m(a,b) = K_{2m} C_m(a,b)\) が実対称であるか説明せよ...

4.4.問題204.4.P20ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\)（3.1.2）と逆行列 \(K_m\)（0.9.5.1）を考える。なぜ \(\hat{J}_m(\lambda) = K_m J_m(\lambda)\) が...

4.4.問題194.4.P19\(A \in M_n\) とする。なぜ \(\mathrm{tr}(A\overline{A})\) は実数（必ずしも非負ではない）であるかを説明し、\(\mathrm{tr}(AA^*) \ge \math...

4.4.問題184.4.P18\(A \in M_n\) が共役正規であることと、実正規行列にユニタリ合同であることが同値である理由を説明せよ。

4.4.問題174.4.P17対称行列 \(A \in M_n\) の最大特異値を \(\sigma_1\) とする。示せ：\(\{ x^T A x : \|x\|_2 = 1 \} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| ...

4.4.問題164.4.P16(4.4.17) の 2×2 実直交ブロックは、非実非負でない \(A\overline{A}\) の固有値ペア \(\tau_{2j} e^{\pm 2i \theta_j}\), \(\theta_j \i...

4.4.問題154.4.P15\(A, B \in M_n\) が共役正規行列であるとする。\(A\overline{A}\) と \(B\overline{B}\) が同じ固有値を持つ場合に限り、\(A\) と \(B\) がユニタリ合同...

4.4.問題144.4.P14複素変数 \(z = ^T\) のベクトルとし、関数 \(f(z)\) をある領域 \(D \subset \mathbb{C}^n\) 上の複素解析関数とする。このとき \(H = \in M_n\) は、任...

4.4.問題134.4.P13すべての実正方行列は実対称行列に相似か？ 複素対称行列に相似か？ 実相似行列を介してなぜか説明せよ。

4.4.問題124.4.P12(4.4.24) から、任意の正方複素行列はその転置と相似であることを導け。

4.4.問題114.4.P11行列 \(A \in M_n\) が対称かつ正則である場合、\(A^{-1}\) も対称であることを示せ。

4.4.問題104.4.P10\(n > 1\) で \(v \in \mathbb{C}^n\) が非零の等方ベクトルである場合、対称行列 \(A = vv^T\) が対角化できない理由は？ そのジョルダン標準形は？

4.4.問題94.4.P9行列 \(A \in M_n\) とする。(a) \(U A U^*\) が実行列となるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在することは、対称ユニタリ \(W \in M_n\) が存在して \(\ove...

4.4.問題84.4.P8証明 (4.4.3) の還元アルゴリズムを \(A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}\) に適用せよ。結果、\(\mathrm{diag}(\sqrt{2...

4.4.問題74.4.P7証明 (4.4.3) の還元アルゴリズムを \(A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}\) に適用せよ。結果、\(\Lambda = \begin{pma...

4.4.問題64.4.P6行列 \(A \in M_2\) を (4.4.5) の記法で表す。(a) \(A\overline{A}\) が 2 つの非実共役固有値を持つことは \(-2|\det A| \lt \mathrm{tr}(A\...

4.4.問題54.4.P5 行列 \(A \in M_n\) とする。(a) (2.5.20(a)) を用いて、\(A\) が複素対称行列にユニタリ相似であることと、対称ユニタリ行列によって \(A\) が \(A^T\) に相似であること...

4.4.問題44.4.P4\(A\) が実対称の場合、(4.4.4c) は何を意味するか？ 実対称行列のスペクトル分解 (2.5.11a) とどのように関係するか？

4.4.問題34.4.P3(4.4.4c) の別のアプローチの詳細を示せ。行列 \(A \in M_n\) を対称とする。(a) \(A\overline{A}\) はエルミートなので、\(A\overline{A} = V \Sigma_...

4.4.問題24.4.P2実表現を用いた (4.4.4c) のアプローチの詳細を示せ。行列 \(A \in M_n\) を対称とする。もし \(A\) が特異であり \(\mathrm{rank} A = r\) ならば、ユニタリ合同で \...

4.4.問題14.4.P1行列 \(A \in M_n\) とする。(a) \(A\) が対称であることと、ランクが同じ行列 \(S \in M_n\) が存在して \(A = SS^T\) であることは同値であることを示せ。(b) \(A...