行列解析

6.2.問題66.2.P6(a) なぜ不可約な上ヘッセンベルグ行列は未簡約であるのかを説明し、 reducible な未簡約上ヘッセンベルグ行列の例を挙げよ。 (b) エルミートまたは対称三重対角行列が未簡約であることと不可約であることが同...

6.2.問題56.2.P5(6.2.28) を用いて、多項式 \(p(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\), \(a_0 \ne 0\) の根 \(\tilde{z}\) に対...

6.2.問題46.2.P4第8章で証明するが、正の成分を持つ正方行列は必ず正の固有値と正の成分を持つ対応する固有ベクトルを持つ。この事実と前問を用いて、任意の \(A \in M_n\) に対して \(\rho(A) \le \rho(|A...

6.2.問題36.2.P3\(A = \in M_n\)、\(\lambda, x = \) が \(|A|\) の固有値・固有ベクトルの組であり、すべての \(x_i > 0\) であるとする。\(D = \mathrm{diag}(x_...

6.2.問題26.2.P2例を用いて、(6.2.28) における不可約性の仮定が必要であることを示せ。

6.2.問題16.2.P1行列 \(A \in M_n\) が不可約であり、かつ \(n \ge 2\) であるとする。\(A\) にゼロ行またはゼロ列が存在しないことを示せ。

6.2.問題集6.2.P1 行列 \(A \in M_n\) が不可約であり、かつ \(n \ge 2\) であるとする。\(A\) にゼロ行またはゼロ列が存在しないことを示せ。 6.2.P2 例を用いて、(6.2.28) における不可約性...

6.2.27系6.2.27（タウスキー）行列 \(A = \in M_n\) が不可約な対角優越であるとする。このとき次が成り立つ。(a) \(A\) は正則である。(b) \(A\) のすべての主対角成分が実数かつ正であれば、\(A\) ...

6.2.26定理6.2.26（タウスキー）行列 \(A \in M_n\) が不可約であり、\(\lambda \in \mathbb{C}\) が不等式 (6.2.2a) を満たすとする。例えば、\(\lambda\) はゲルシュゴリン集...

6.2.25行列 \(A \in M_n\) に対して、次の条件を満たす場合、\(A\) は不可約対角優位であるという。(a) \(A\) は不可約である。(b) \(A\) は対角優位である。すなわち、すべての \(i = 1, \dot...

6.2.24まとめると、定理6.2.24．行列 \(A \in M_n\) に対して、以下は同値である。(a) \(A\) は不可約である。(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。(c) \((I + M(A))^{n-1}...

6.2.23定理6.2.23．行列 \(A \in M_n\) に対して、以下は同値である。(a) \(A\) は不可約である。(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。(c) \((I + M(A))^{n-1} > 0\)...

6.2.22定義6.2.22．行列 \(A \in M_n\) が不可約であるとは、可約でない場合をいう。

6.2.21定義6.2.21．行列 \(A \in M_n\) が可約であるとは、置換行列 \(P \in M_n\) が存在してP^T A P =\begin{pmatrix}B & C \\0_{n-r,r} & D\end{pmatr...

6.2.20系6.2.20．行列 \(A \in M_n\) およびノード \(i, j \in \{1, \dots, n\}\) に対して、\(i \neq j\) ならば、\(\mathcal{G}(A)\) において \(P_i\)...

6.2.19系6.2.19．行列 \(A \in M_n\) に対して、次の条件は同値である。 (a) AはSC性を持つ。(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。(c) \((I + M(A))^{n-1} > 0\)。証明...

6.2.18系6.2.18．行列 \(A \in M_n\) に対して、\(|A|^m > 0\) であることは、\(\mathcal{G}(A)\) の任意のノード \(P_i\) から任意のノード \(P_j\) への長さ \(m\) ...

6.2.17定義6.2.17．行列 \(A = \in M_n\) に対して、すべての成分 \(a_{ij}\) が実数かつ非負である場合、\(A \ge 0\)（Aは非負）であるという。また、すべての成分 \(a_{ij}\) が実数かつ...

6.2.16定理6.2.16．行列 \(A \in M_n\) と、\(\mathcal{G}(A)\) のノード \(P_i\) および \(P_j\) が与えられたとする。次の3条件は同値である。(a) \(\mathcal{G}(A)...

6.2.観察6.2.15．\(\mathcal{G}\) を \(n\) 個のノードを持つ有向グラフとする。もし \(\mathcal{G}\) において、与えられた2つのノード間に有向経路が存在するならば、そのノード間には長さが \(n-...

6.2.14定理6.2.14．行列 \(A \in M_n\) に対して、\(A\) が SC 性を持つことと、有向グラフ \(\mathcal{G}(A)\) が強連結であることは同値である。演習．前記定理を証明せよ。演習．有向グラフ \...

6.2.13定義6.2.13．有向グラフ \(\mathcal{G}\) は強連結であるとは、\(\mathcal{G}\) 内の任意の異なるノード \(P_i, P_j\) に対して、\(P_i\) から始まり \(P_j\) で終わる有...

6.2.12定義6.2.12．グラフ \(\mathcal{G}\) における有向経路 \(\gamma\) とは、\(\mathcal{G}\) 内の弧 \(P_{i_1} P_{i_2}, P_{i_2} P_{i_3}, P_{i_3...

6.2.11定義6.2.11．行列 \(A \in M_n\) の有向グラフを \(\Gamma(A)\) と表す。これは \(n\) 個のノード \(P_1, P_2, \dots, P_n\) 上の有向グラフであり、ノード \(P_i\...

6.2.10定義6.2.10．任意の行列 \(A = \in M_{m,n}\) に対して、次の2つの行列を定義する。\lvert A \rvert = , \quad M(A) = ここで、要素 \(\mu_{ij}\) は次のように定め...

6.2.9系6.2.9（改良された系）．\(A = \in M_n\) が性質SC（Strong Connectivity）をもつと仮定する。もし \(A\) が対角優位であり、さらにある \(k \in \{1, \dots, n\}\)...

6.2.8定理6.2.8（改良された定理）．\(A \in M_n\) とし，\(\lambda, x = \) を \(A\) の固有値・固有ベクトルの組とする。ここで \(\lambda\) は不等式 (6.2.2a) を満たしていると...

6.2.7定義6.2.7. 行列 \(A = \in M_n\) が性質SC（Strong Connectivity）をもつとは、次の条件を満たすことをいう。すなわち、異なる2つの整数 \(p, q \in \{1, \dots, n\}\...

6.2.6系6.2.6. 行列 \(A=\in M_n\) を考え、かつ \(A\) のすべての成分がゼロでないと仮定する。もし \(A\) が対角優位であり、かつある \(k\in\{1,\dots,n\}\) が存在して\lvert a...

6.2.5定理6.2.5　\(A \in M_n\) とし、\(A\) の固有対 \((\lambda, x = )\) が不等式 (6.2.2a) を満たすものとする。もし \(A\) のすべての成分がゼロでないなら、次のことが成り立つ。...