5.ベクトルと行列のノルム

5.6.問題555.6.P55与えられた行列ノルム \(\| \cdot \|\) を \(M_m\) 上で考える。関数 \(N(\cdot) : M_{mn} \to \mathbb{R}\) を次のように定義する：各 \(A \in M...

5.6.問題545.6.P54(5.6.P49) でベクトル \(x_0\) と \(y_0\) の存在を保証する一般原理は、コンパクト集合のデカルト積がコンパクトであることである。この場合のコンパクト集合は、ノルム \(\|\cdot\|...

5.6.問題535.6.P53 最大行和ノルムの場合の (5.6.P49) の構成を示す。行列A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}に対して、\(x_0 = ^T\)、\(y_0...

5.6.問題525.6.P52 スペクトルノルムの場合の (5.6.P49) の構成を示せ。非特異 \(A \in M_n\) を特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\)（2.6.3.1）とすると、\(x_0\) を \(V\)...

5.6.問題515.6.P51任意の非特異 \(A \in M_n\) に対して \(\mathrm{dist}_{\|\cdot\|}(A, S_n) = \|A^{-1}\|^{-1}\) が成立する場合に限り、行列ノルム \(\|\c...

5.6.問題505.6.P50\(\| \cdot \|\) が誘導でない行列ノルムの場合、(5.6.26) より、すべての \(A \in M_n\) に対して \(N(A) \le \|A\|\) となる誘導行列ノルム \(N(\cdo...

5.6.問題495.6.P49\(\| \cdot \|\) が \(C_n\) 上のノルムから誘導され、\(A \in M_n\) が非特異であるとする。ベクトル \(x_0, y_0 \in C_n\) を \(\|x_0\| = \|...

5.6.問題485.6.P48(a) \(S_n\) が閉集合である理由を説明せよ。すなわち、\(X_i \in S_n\) （\(i=1,2,\dots\)）かつ \( \|X_i - B\| \to 0 \) とすると \(B \in ...

5.6.問題475.6.P47\(A, B \in M_n\) とし、\(A\) は非特異、\(B\) は特異であるとする。このとき次を示せ：\|A - B\| \ge \frac{1}{\|A^{-1}\|}非特異行列は特異行列によって近...

5.6.問題465.6.P46\(A \in M_n\) が非特異であり、行列ノルム \(\| \cdot \|\) がベクトルノルム \(\|\cdot\|\) から誘導される場合、次を示せ：\|A^{-1}\| = \frac{1}{\...

5.6.問題455.6.P45 \(\| \cdot \|\) を \(C_n\) 上のノルムから誘導された \(M_n\) 上の行列ノルムとし、\(A = XY^*\) （\(X = \in M_{n,k}\), \(Y = \in M_...

5.6.問題445.6.P44\(A = \in M_n(\mathbb{R})\) がすべて整数（正・負・ゼロ）であり、\(K = \max |a_{ij}| = \|A\|_\infty\) とする。非零の固有値を \(\lambda_...

5.6.問題435.6.P43\(A \in M_n\) とし、\(U^* A U = T\) をユニタリ上三角化（2.3.1）とする。指数関数の級数展開を用いて \(e^T = U^* e^A U\) を示せ。これにより \(\det e...

5.6.問題425.6.P42 スペクトルノルムは絶対ノルムではないが、絶対ベクトルノルムから誘導されるすべての行列ノルムは、前問の (c) 部で示された弱い単調性を持つ。行列ノルム \(\| \cdot \|\) は正の直交体（posit...

5.6.問題415.6.P41\( \|\cdot\| \) を \(C_n\) 上の絶対ノルムとし、それによって誘導される \(M_n\) 上の行列ノルムを \(\|\cdot\|\) とする。さらにN(A) = \||A|\|と定義する...

5.6.問題405.6.P40(a) 次の行列のスペクトルノルムを計算せよ：\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -...

5.6.問題395.6.P39前問の結果はスペクトルノルムの場合にさらに改善できる。スペクトル行列とは、スペクトルノルムとスペクトル半径が等しい行列である。(a) \(U \in M_n\) がユニタリ行列で \(\alpha \in \m...

5.6.問題385.6.P38\(A \in M_n\) が与えられたとき、\(\| \cdot \|\) をある行列ノルムとすると \(\|A\| = \rho(A)\) が成り立つのは、\(A\) の最大絶対値の固有値がすべて半単純（セ...

5.6.問題375.6.P37スペクトルノルムはフロベニウスノルムと異なり、\(M_n\) 上の内積から導かれるものではないことを示せ。

5.6.問題365.6.P36\(A \in M_n\) の場合、エルミート行列\hat{A} = \begin{bmatrix} 0 & A^* \\ A & 0 \end{bmatrix} \in M_{2n}は \(A\) と同じスペ...

5.6.問題355.6.P35 (5.6.P33) のパラメータを \(p_k = r^k\) （\(k=1,\dots,n\)）と選ぶと、(5.6.52) は次の境界を示す：|\tilde{z}| \le \max\left\{\begi...

5.6.問題345.6.P34 もし (5.6.45) のすべての係数 \(a_k\) が非零である場合、前問のパラメータを \(p_k = p_1 / |a_{n-k+1}|\) （\(k=2,3,\dots,n\)）と選ぶと、(5.6....

5.6.問題335.6.P33任意の非特異行列 \(D\) に対して \(\rho(A) = \rho(D^{-1} A D)\) であることから、(5.6.P27) の方法を \(D^{-1} C(p) D\) に適用して、(5.6.45...

5.6.問題325.6.P32次の多項式を考える：\begin{align}& p(z) \notag = \frac{1}{n!} z^n + \frac{1}{(n-1)!} z^{n-1} \notag \\& \quad \quad...

5.6.問題315.6.P31前問の 4 問はいずれも \(p(z) = 0\) の根の絶対値の上限に関する問題であったが、これらは下限境界を得るためにも利用できる。もし \(p(z)\) が (5.6.45) で与えられ、\(a_0 \n...

5.6.問題305.6.P30上記の Montel の境界を用いて Kakeya の定理を示せ：もし多項式f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0の係数 \(a_i \ge...

5.6.問題295.6.P29 Montel の境界 (5.6.48) を多項式\begin{align}q(z) &= (z-1)p(z) \notag \\&= z^{n+1} + (a_{n-1}-1)z^n \notag \\ & ...

5.6.問題285.6.P28前問の記法を引き続き用い、(5.6.46) の境界を改善する。\( s = |a_0|^2 + |a_1|^2 + \dots + |a_{n-1}|^2 \) とおく。フロベニウスの同伴行列を \( C(p)...

5.6.問題275.6.P27 次のように次数が 1 以上の任意の多項式 \( f(z) \) は表せる：f(z) = \gamma z^k p(z)ここで \(\gamma\) は 0 でない定数であり、p(z) = z^n + a_{n...

5.6.問題265.6.P26\( A \in M_n \) で \(\rho(A) \lt 1\) のとき、ノイマン級数 \( I + A + A^2 + \dots \) が収束し、\((I - A)^{-1}\) に等しくなることを示...