5.ベクトルと行列のノルム

5.7.問題135.7.P13\(A=\in M_{m,n}\) として行ベクトル \(r_i(A) = ^T\)、列ベクトル \(c_j(A)=^T\) を定義し、\( \|\cdot\|_\alpha\)（\( \mathbb{C}^n...

5.7.問題125.7.P12なぜ \( \mathbb{C}^n \) 上のどのノルムも \(M_n\) 上のノルム \( \| \cdot \|_\infty \) と整合しないのかを説明し、ただし \(n \| \cdot \|_\i...

5.7.問題115.7.P11(a) \(r(J_2(0)) = \tfrac{1}{2}\) を示してください。 (b) なぜ数値半径は任意の \( \mathbb{C}^n \) 上のノルムと整合し得ないのか説明してください。 (c) ...

5.7.問題105.7.P10数値半径 \(r(\cdot)\) が \(M_n\) 上の行列ノルムでないことを、式 (5.7.4) に現れる行列を用いて \(r(AB)\) と \(r(A)r(B)\) を比較することで示してください。解...

5.7.問題95.7.P9与えられた \(M_n\) 上のノルムと整合する \( \mathbb{C}^n \) 上のすべてのベクトル・セミノルムの集合が凸集合であることを示してください。実際にはこれは凸錐（convex cone）であるこ...

5.7.問題85.7.P8定義 (5.7.P4) における \(A\) と \(B\) の出現順を入れ替えて定義した関数も別の行列ノルムを与えることを示し、具体例でそれが元の \(G(\cdot)\) と異なり得ることを示してください。解説...

5.7.問題75.7.P7.\(G(I) = 1\) のとき、\(G(\cdot)\) が行列ノルムであることと、すべての \(A \in M_n\) に対して \(G'(A) \le G(A)\) が成り立つことは同値であることを示せ。

5.7.問題65.7.P6.\(G''(A) = \max_{G'(B)=1} G'(AB)\) と定義する。このとき \(G''(\cdot) = G'(\cdot)\) であることを示せ。

5.7.問題55.7.P5.\(G(\cdot)\) が行列ノルムであるとき、すべての \(A \in M_n\) に対して \(G'(A) \le G(A)\) であることを示せ。また、\(G(I) = 1\) の場合は \(G'(\cd...

5.7.問題45.7.P4.\(M_n\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) を用いて、関数 \(G' : M_n \to \mathbb{R}\) をG'(A) = \max_{G(B)=1} G(AB)で定義する。このとき ...

5.7.問題35.7.P3.\(M_n\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) と \(A \in M_n\) が与えられたとき、次を示せ：(a) 前問を用いて、\(\rho(A) \lt 1\) なら \(G(A^k) \to ...

5.7.問題25.7.P2.\(M_n\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) と \(A \in M_n\)、\(\epsilon > 0\) が与えられたとき、正の定数 \(K(\epsilon, A)\) が存在して、すべて...

5.7.問題15.7.P1.\(M_n\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) と、0でない \(z \in \mathbb{C}^n\) が与えられている。このとき、関数\|x\| = G(x z^*)が \(\mathbb{C...

5.7.20定理 5.7.20. \(M_n\) 上のノルム \(G(\cdot)\) はスペクトル優越であることと、各 \(A \in M_n\) に対して、正の定数 \(\gamma_A\)（A と G(\(\cdot\)) のみに依存...

5.7.19補題 5.7.19. \(G(\cdot)\) を \(M_{n}\) 上のスペクトル優越ノルムとし、\(A \in M_{n}\) を与え、\(\lambda\) を \(|\lambda| = \rho(A)\) を満たす ...

5.7.18定理 5.7.18. \(C_{n}\) 上の任意のノルムは、行列ノルムでない \(M_{n}\) 上のベクトルノルムと互換である。証明\(\|\cdot\|\) を \(C_{n}\) 上の任意のノルムとし、主対角がゼロの置換...

5.7.17定理 5.7.17. \(M_{n}\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) が、ある \(C_{n}\) 上のノルムと互換であるのは、不等式 (5.7.15) を満たす場合に限る。証明一方向はすでに (5.7.14)...

5.7.16補題 5.7.16. \(G(\cdot)\) を \(M_n\) 上のベクトルノルムとし、(5.7.15) を満たすと仮定する。このとき、有限で正の定数 \(\gamma(G)\) が存在して、すべての \(A_1, A_2,...

5.7.定理 5.7.14. \(G(\cdot)\) を \(M_n\) 上のノルムとし、\(\|\cdot\|\) を \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムとする。もし \(G(\cdot)\) が \(\|\cdot\|\) ...

5.7.13定理 5.7.13. \(\| \cdot \|\) が \(M_n\) 上の行列ノルムであるならば、それと両立する \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムが存在する。また、\(\mathbb{C}^n\) 上のノルム \...

5.7.12定義 5.7.12. \(\mathbb{C}^n\) 上のノルム \(\| \cdot \|\) と、\(M_n\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) が次を満たすとき、これらは両立（compatible）であると...

5.7.11定理 5.7.11. \(G(\cdot)\) を \(M_n\) 上のベクトルノルムとする。c(G) = \max_{G(A) = 1 = G(B)} G(AB)と定義する。このとき、正の実数スカラー \(\gamma\) に...

5.7.10定理 5.7.10. \(f\) が \(M_n\) 上のプレノルム、特にベクトルノルムであるならば、すべての \(A \in M_n\) に対して次が成り立つ：\lim_{k \to \infty} \bigl^{1/k} =...

5.7.8定理 5.7.8. \(f\) を \(M_n\) 上のプレノルム、すなわち \(M_n\) 上で正値性・斉次性・連続性 (5.4.4) を満たす実数値関数とする。また、\(\| \cdot \|\) を \(M_n\) 上の行列...

Further Readings誘導ノルム間の上界の問題（5.6.18）に関するさらなる議論は、H. Schneider および G. Strang, "Comparison theorems for supremum norms," Nu...

5.6.問題585.6.P58(a) \(A, B \in M_2\) の例を挙げ、\(\|AB\|_2 \neq \|BA\|_2\)（フロベニウスノルム）となることを示せ。(b) \(A, B \in M_n\)、\(A\) は正規、\...

5.6.問題575.6.P57\(A \in M_n\) の固有値を \(|\lambda_1| \ge \cdots \ge |\lambda_n|\) の順に並べ、特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigm...

5.6.問題565.6.P56 \(\| \cdot \|\) を \(M_n\) 上の自己共役行列ノルム（例えば、ユニタリ不変行列ノルム）とする。このとき、すべての \(A \in M_n\) に対して次を示せ：\|A\|_2 \le \...