5.ベクトルと行列のノルム

5.8.参考文献：連立方程式解の誤差に関する事前評価（a priori bound）やその他の結果については、Stewart (1973) など数値線形代数の文献を参照してください。

5.8.問題145.8.P14フロベニウスの同伴行列 \(C(p)\)（参照 (3.3.12)）について、スペクトルノルムに関する条件数が次の形で与えられることを示しなさい：\kappa(C(p)) = s+1+\frac{\sqrt{(s...

5.8.問題135.8.P13参照 (5.6.P47–P51)。正則 \(A\in M_n\) と行列ノルム \(\|\cdot\|\) に対して、もし \(\|\cdot\|\) が誘導ノルムならば\kappa(A)=\frac{\|A\...

5.8.問題125.8.P12\(A=\in M_n\) を対角成分 \(a_{ii}\ne 0\) を持つ上三角行列とする。最大行和ノルムに関して、次の下界を示しなさい：\kappa(A)\ge \frac{\|A\|_\infty}{\...

5.8.問題115.8.P11任意の正則 \(A\in M_n\) に対し、任意の特異行列 \(B\) について（任意ノルムで）不等式\kappa(A)\ge \frac{\|A\|}{\|A-B\|}を示しなさい。これは与えられた行列 \...

5.8.問題105.8.P10スペクトルノルムを用いると、任意の \(A\) について\kappa(A^*A)=\kappa(AA^*)=\kappa(A)^2を示しなさい。また、このことから \(A^*A x=y\) を解く問題が \(A...

5.8.問題95.8.P9有名な悪条件行列の例にヒルベルト行列 \(H_n\) がある（参照 0.9.12）。\(H_n\) は正規なのでスペクトルノルムに関する条件数は \(\kappa(H_n)=\rho(H_n)\rho(H_n^{-...

5.8.問題85.8.P8問題 (5.8.P3) の行列 \(B_\varepsilon\) に対し線形系 \(B_\varepsilon x=^T\) を考え、真解 \(x=^T\) と近似解\hat{x}=\begin{pmatrix}...

5.8.問題75.8.P7行列式 \(\det A\) が小さい（または大きい）とき、必ずしも \(\kappa(A)\) は大きくならなければならないかを論じなさい。解説メモ：\(\det A\) の大小と条件数の大小には直接単純な一致は...

5.8.問題65.8.P6行列ノルム \(\|\cdot\|\) がベクトルノルムに誘導される（induced）場合、正則 \(A\) に対して次を示しなさい。\kappa(A)=\frac{\max\{\|Ax\|:\|x\|=1\}}{...

5.8.問題55.8.P5逆行列の条件数は用いるノルムによって異なるが、すべての条件数は同値であることを示しなさい。すなわち、\(\kappa_\alpha(A)=\|A^{-1}\|_\alpha\|A\|_\alpha\) と \(\k...

5.8.問題45.8.P4任意の正則 \(A\in M_n\) と任意の行列ノルムについて、\(\kappa(A)\ge \rho(A)\,\rho(A^{-1})\) を示しなさい。したがって、最大・最小絶対固有値の比が大きければ \(A...

5.8.問題35.8.P3行列B_\varepsilon=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1 & -1-\varepsilon\end{pmatrix},\quad \varepsilon>0について固有値と逆行列を計算し、...

5.8.問題25.8.P2正規行列A_\varepsilon=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 1+\varepsilon\end{pmatrix},\quad \varepsilon>0の固有値と逆行列を計算し、\...

5.8.問題15.8.P1\(A \in M_n\) が正則かつ正規行列であるとする。スペクトルノルムに関して逆行列の条件数がなぜ \( \kappa(A)=\rho(A)\,\rho(A^{-1}) \) になるかを説明しなさい。解説メモ...

5.7.問題265.7.P26数値半径は、全ての \(A \in M_n\) および \(m = 1, 2, \dots\) に対してべき不等式 \(r(A^m) \le r(A)^m\) を満たしますが、べき積不等式r(A^{k+m}) ...

5.7.問題255.7.P25数値半径 \(r(\cdot)\) はスペクトル支配的であり、弱いべき不等式 (5.7.20a) を満たします。この問題の目的は、実際には全ての \(m = 1, 2, \dots\) および全ての \(A \...

5.7.問題245.7.P24数値半径は、自然な近似問題に関連します。任意の \(A \in M_n\) に対して、ランク1エルミート行列のスカラー倍でフロベニウスノルムにおける最小二乗近似を行う場合を考えます。\(c \in \mathb...

5.7.問題235.7.P23\(x \in \mathbb{C}^n\) と \(X = x x^\ast\) （エルミートのランク1行列）のとき、次が成り立つことを示します：\|X\|_2 = \|x\|_2^2さらに、\(A \in ...

5.7.問題225.7.P22不等式 (5.7.21) および (5.6.P23) の\frac{1}{\sqrt{n}} \|A\|_2 \le \|A\|_2 \le \|A\|_2から、次が成り立つことを導きます：\frac{1}{2...

5.7.問題215.7.P21不等式 (5.7.21) および (5.7.11) を用いて、\(4 r(\cdot)\) が \(M_n\) 上の行列ノルムであることを示します。行列 \(A = J_2(0)\)、\(A^\ast\)、およ...

5.7.問題205.7.P20 行列集合 \(M_n\) 上の数値半径関数 \(r(\cdot)\) に関する次の主張を証明します：(a) \(r(\cdot)\) はユニタリ不変ではありませんが、ユニタリ相似不変です：\(U \in M_...

5.7.問題195.7.P19行列集合 \(M_n\) 上のノルムの円錐に対して、スペクトル特性が凸関数であることを示し、これにより \(M_n\) 上のスペクトル支配ノルム全体の集合が凸であることを導きます。

5.7.問題185.7.P18もし \(G(\cdot)\) が単位元を 1 にする（unital）ノルムであるならば、なぜ \(m(G)\ge 1\) か説明してください。さらに、Mn 上のスペクトル支配的な単位元ノルムはなぜ最小限にスペ...

5.7.問題175.7.P17\(G(\cdot)\) が \(M_n\) 上のノルムであるとき、スペクトル特性（spectral characteristic）をm(G) = \max_{G(A)\le 1} \rho(A)と定義します。...

5.7.問題165.7.P16\(n\ge 2\) とし、\(G(\cdot)\) を相似不変（similarity invariant）な Mn 上のセミノルム、つまり任意の正則 \(S\) について \(G(S A S^{-1})=G(...

5.7.問題155.7.P15(5.7.P13) のノルムについて考えます。 (a) もし \(\|\cdot\|_\alpha=\|\cdot\|_2=\|\cdot\|_\beta\) ならば、\(G_{\beta,\alpha}(\c...

5.7.問題145.7.P14前問の \(G_{\beta,\alpha}(\cdot)\) を (5.6.P4) で定義したノルム \(\|\cdot\|_{\alpha,\beta}\) と比較し、たとえ \(m=n\) でかつ \(\...