6.固有値の位置と摂動

6.3.問題1問題 6.3.P1\(A = \in M_n\) が正規行列であり、その固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。次を示せ。\sum_{i=1}^{n} |a_{ii} - \lamb...

6.3.14定理 6.3.14.　\(A \in M_n\) が対角化可能な行列であり、\(A = S \Lambda S^{-1}\)、ただし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \l...

6.3.12この定理は、行列 \( A \in M_n \) の単純固有値 \( \lambda \) が、摂動 \( A + tE \) によってどのように変化するかを定量的に示すものである。ここで \( E \in M_n \) は任意...

6.3.10次の補題は、行列 \( A \in M_n \) の単純固有値に対応する右・左固有ベクトルの性質と、それを用いたブロック分解の存在を示している。補題 6.3.10. \( \lambda \) を \( A \in M_n \)...

6.3.8系6.3.8．\(A, E \in M_n\) とする。\(A\) がエルミートであり、\(A+E\) が正規であると仮定する。\(A\) の固有値を昇順に \(\lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n...

6.3.5定理6.3.5．\(A, E \in M_n\) とし、\(A\) と \(A+E\) の両方が正規であると仮定する。\(A\) の固有値をある順序で \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)、\(A+E\) の...

6.3.4\( A, E \in M_n \) とし、\( A \) が正規行列であるとする。このとき、もし \( \hat{\lambda} \) が \( A + E \) の固有値であるならば、\( A \) の固有値 \( \lam...

6.3.2\(A \in M_n\) が対角化可能であり、非特異行列 \(S\) を用いて \(A = S \Lambda S^{-1}\) と表されるとする。ここで \(\Lambda\) は対角行列である。また、\(E \in M_n\...

6.3.1\(A \in M_n\) が対角化可能であり、非特異行列 \(S\) を用いて \(A = S \Lambda S^{-1}\) と表されるとする。ここで \(\Lambda\) は対角行列である。また、\(E \in M_n\...

6.2.問題86.2.P8\(A \in M_n\) に対して \(\rho(A) \le \|A\|_\infty\) が成り立つことは既知である。\(A\) が不可約であり、かつ絶対値行和がすべて等しくない場合に、なぜ \(\rho(A...

6.2.問題76.2.P7\(A \in M_n\) を主対角成分がすべて 2、上対角成分がすべて −1 の実対称三重対角行列とする。(6.2.27) を用いて \(A\) が正定値であることを示せ。

6.2.問題66.2.P6(a) なぜ不可約な上ヘッセンベルグ行列は未簡約であるのかを説明し、 reducible な未簡約上ヘッセンベルグ行列の例を挙げよ。 (b) エルミートまたは対称三重対角行列が未簡約であることと不可約であることが同...

6.2.問題56.2.P5(6.2.28) を用いて、多項式 \(p(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\), \(a_0 \ne 0\) の根 \(\tilde{z}\) に対...

6.2.問題46.2.P4第8章で証明するが、正の成分を持つ正方行列は必ず正の固有値と正の成分を持つ対応する固有ベクトルを持つ。この事実と前問を用いて、任意の \(A \in M_n\) に対して \(\rho(A) \le \rho(|A...

6.2.問題36.2.P3\(A = \in M_n\)、\(\lambda, x = \) が \(|A|\) の固有値・固有ベクトルの組であり、すべての \(x_i > 0\) であるとする。\(D = \mathrm{diag}(x_...

6.2.問題26.2.P2例を用いて、(6.2.28) における不可約性の仮定が必要であることを示せ。

6.2.問題16.2.P1行列 \(A \in M_n\) が不可約であり、かつ \(n \ge 2\) であるとする。\(A\) にゼロ行またはゼロ列が存在しないことを示せ。

6.2.27系6.2.27（タウスキー）行列 \(A = \in M_n\) が不可約な対角優越であるとする。このとき次が成り立つ。(a) \(A\) は正則である。(b) \(A\) のすべての主対角成分が実数かつ正であれば、\(A\) ...

6.2.26定理6.2.26（タウスキー）行列 \(A \in M_n\) が不可約であり、\(\lambda \in \mathbb{C}\) が不等式 (6.2.2a) を満たすとする。例えば、\(\lambda\) はゲルシュゴリン集...

6.2.25行列 \(A \in M_n\) に対して、次の条件を満たす場合、\(A\) は不可約対角優位であるという。(a) \(A\) は不可約である。(b) \(A\) は対角優位である。すなわち、すべての \(i = 1, \dot...

6.2.24まとめると、定理6.2.24．行列 \(A \in M_n\) に対して、以下は同値である。(a) \(A\) は不可約である。(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。(c) \((I + M(A))^{n-1}...

6.2.23定理6.2.23．行列 \(A \in M_n\) に対して、以下は同値である。(a) \(A\) は不可約である。(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。(c) \((I + M(A))^{n-1} > 0\)...

6.2.22定義6.2.22．行列 \(A \in M_n\) が不可約であるとは、可約でない場合をいう。

6.2.21定義6.2.21．行列 \(A \in M_n\) が可約であるとは、置換行列 \(P \in M_n\) が存在してP^T A P =\begin{pmatrix}B & C \\0_{n-r,r} & D\end{pmatr...

6.2.20系6.2.20．行列 \(A \in M_n\) およびノード \(i, j \in \{1, \dots, n\}\) に対して、\(i \neq j\) ならば、\(\mathcal{G}(A)\) において \(P_i\)...

6.2.19系6.2.19．行列 \(A \in M_n\) に対して、次の条件は同値である。 (a) AはSC性を持つ。(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。(c) \((I + M(A))^{n-1} > 0\)。証明...

6.2.18系6.2.18．行列 \(A \in M_n\) に対して、\(|A|^m > 0\) であることは、\(\mathcal{G}(A)\) の任意のノード \(P_i\) から任意のノード \(P_j\) への長さ \(m\) ...