6.固有値の位置と摂動

6.4.補足と参考文献：固有値包含集合と関連定理固有値の包含集合に関する詳細および原論文への多くの参照については、R. Brualdi の論文「Matrices, eigenvalues, and directed graphs」（Line...

6.4.問題8問題 6.4.P8ブラウアー集合 (6.4.8) は (6.2.8) に示されたような境界固有値性を一般には持たないが、その部分集合の中には同様の性質をもつものが存在する。すなわち、\( A = \in M_n \) が非可約...

6.4.問題7問題 6.4.P7\( A = \in M_n \) で、すべての \( i = 1, \ldots, n \) について \( a_{ii} = 0 \) であるとする。\( A \) の各行の絶対値の和（対角要素を除く）を...

6.4.問題6問題 6.4.P6次の行列を考える。A =\begin{bmatrix}-2 & 4 & -3 \\0 & 1 & -\frac{1}{4} \\1 & 0 & 1\end{bmatrix}(6.4.12)\bigcup_{i...

6.4.問題5問題 6.4.P5行列 \( A \in M_n \) が弱非可約であることと、\( A \) が置換相似によって、対角ブロックの1つが1×1のブロックであるようなブロック三角行列に変形できないことが同値であることを示せ。

6.4.問題4問題 6.4.P4(6.1.10) および (6.2.6) の議論を利用して、(6.4.29) の証明の詳細を補え。

6.4.問題3問題 6.4.P3\( n \ge 2 \) のとき、任意の非可約行列 \( A \in M_n \) は弱非可約（weakly irreducible）であることを示せ。また、弱非可約ではあるが非可約ではない行列の例を挙げよ...

6.4.問題2問題 6.4.P2次の行列を考える。A = \begin{bmatrix}2 & 3 \\1 & 3\end{bmatrix}条件 (6.4.11) の両方が \( A \) の非特異性を保証することを示せ。ただし、(6.1....

6.4.問題16.4章 練習問題：ブラウアーの条件と行列の非可約性この節では、ブラウアー（Brauer）の条件、レヴィ＝デスプランク（Levy–Desplanques）の条件、行列の非可約性およびその弱形式などに関する演習問題を扱う。問題 ...

6.4.30\( n \ge 2 \) とし、\( A = \in M_n \) が既約（irreducible）であるとする。このとき、行列 \( A \) のすべての固有値は次の集合に含まれる。\bigcup_{i \ne j,\, |...

6.4.29\( A \in M_n \) で \( n \ge 2 \) のとき、次のいずれかの条件を満たすとき、行列 \( A \) は非特異（nonsingular）である。(a) \( A \) が弱い意味で既約（weakly ir...

6.4.26　定理（Brualdiの定理）行列 \( A = \in M_n \) が既約であり、かつ \( n \ge 2 \) であるとする。集合 (6.4.19) の境界点 \(\lambda\) が \(A\) の固有値となるのは、...

6.4.18.定理 6.4.18（Brualdi の定理）定理 6.4.18（Brualdi）。\( A = \in M_n \) とし、\( n \ge 2 \) と仮定する。もし \(A\) が弱既約（weakly irreducibl...

6.4.17.補題：前順序集合における極大要素の存在と有向グラフの非自明サイクル補題 6.4.17　非空有限集合 \(S\) に前順序 \(R\) が定義されているとする。このとき、\(S\) は少なくとも1つの極大要素を含む。 証明：集合...

6.4.16.弱既約性と前順序関係に関する補題補題 6.4.16：\( A \in M_n \) が弱既約（weakly irreducible）であることと、次の条件が成り立つことは同値である。 B = = (I + |A|)^{n-1}...

6.4.11.ブラウアの定理と削除行和に基づく固有値包含集合の一般化次の系は、オストロフスキーとブラウアの定理に基づき、行列が非特異（可逆）であるための十分条件を与えるものである。系 6.4.11. \( A = \in M_n \) （\...

6.4.7.ブラウアーの定理（Brauer’s Theorem）定理6.4.7（ブラウアー）：\(A = \in M_n\) とし、\(n \ge 2\) と仮定する。 行列 \(A\) の固有値は、次のような \(n(n - 1)/2\)...

6.4.1本節では、ゲルシュゴリンの定理を拡張したOstrowskiの定理を紹介する。この定理は、行と列の両方の情報を利用して固有値が存在する範囲を示すものであり、パラメータ \(\alpha \in \) によってゲルシュゴリン円板の「行...

参考文献(6.3.2) の最初の版は F. Bauer と C. Fike, "Norms and exclusion theorems", Numer. Math. 2 (1960) 137–141 に現れる。(6.3.5) の元の版は ...

6.3.問題10問題 6.3.P10実対称行列A(t) = \begin{bmatrix} 0 & t \\ t & 0 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}を考える。\(A(t)\) の固有値は \(...

6.3.問題9問題 6.3.P9式 (6.3.5) の証明では、もし \(U = \in M_n\) がユニタリ行列であれば、行列 \(A = \) は二重確率行列（doubly stochastic）かつユニストカスティック（unisto...

6.3.問題8問題 6.3.P8式 (6.3.5) の証明の議論を用いて、定理の仮定の下で、整数 1, …, n の順列 \(\tau\) が存在して次を満たすことを示せ。\sum_{i=1}^{n} |\hat{\lambda}_{\ta...

6.3.問題7問題 6.3.P7次の行列を考える。A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad E = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end...

6.3.問題6問題 6.3.P6式 (6.3.4) は、正規行列において固有値の摂動と行列要素の摂動の比が有限であることを示している。しかし、行列の固有値はその特性多項式の零点にすぎない。この事実が前問の結論とどのように両立するかを説明せよ...

6.3.問題5問題 6.3.P5実数 \(t_0\) に対して多項式 \(p(t) = (t - t_0)^2\) を考える。 \(\epsilon > 0\) のとき、多項式 \(p(t) - \epsilon\) の零点が \(t_0 ...

6.3.問題4問題 6.3.P4\(A \in M_n\) を正規行列とし、\(S\) を \(\mathbb{C}^n\) の \(k\) 次元部分空間とする。さらに \(\gamma \in \mathbb{C}\)、\(\delta ...

6.3.問題3問題 6.3.P3正規行列 \(A \in M_n\) を次のように分割する：A = \begin{bmatrix} B & X \\ Y & C \end{bmatrix}ここで \(B \in M_k\)、\(C \in ...

6.3.問題2問題 6.3.P2式 (6.3.14) の上界は残差ベクトル \(r = A\hat{x} - \hat{\lambda}\hat{x}\) のノルムを含む。与えられた \(A \in M_n\) と非零ベクトル \(\hat...