6.固有値の位置と摂動

6.4.18.定理 6.4.18（Brualdi の定理）定理 6.4.18（Brualdi）。\( A = \in M_n \) とし、\( n \ge 2 \) と仮定する。もし \(A\) が弱既約（weakly irreducibl...

6.4.17.補題：前順序集合における極大要素の存在と有向グラフの非自明サイクル補題 6.4.17　非空有限集合 \(S\) に前順序 \(R\) が定義されているとする。このとき、\(S\) は少なくとも1つの極大要素を含む。 証明：集合...

6.4.16.弱既約性と前順序関係に関する補題補題 6.4.16：\( A \in M_n \) が弱既約（weakly irreducible）であることと、次の条件が成り立つことは同値である。 B = = (I + |A|)^{n-1}...

6.4.11.ブラウアの定理と削除行和に基づく固有値包含集合の一般化次の系は、オストロフスキーとブラウアの定理に基づき、行列が非特異（可逆）であるための十分条件を与えるものである。系 6.4.11. \( A = \in M_n \) （\...

6.4.7.ブラウアーの定理（Brauer’s Theorem）定理6.4.7（ブラウアー）：\(A = \in M_n\) とし、\(n \ge 2\) と仮定する。 行列 \(A\) の固有値は、次のような \(n(n - 1)/2\)...

6.4.1本節では、ゲルシュゴリンの定理を拡張したOstrowskiの定理を紹介する。この定理は、行と列の両方の情報を利用して固有値が存在する範囲を示すものであり、パラメータ \(\alpha \in \) によってゲルシュゴリン円板の「行...

参考文献(6.3.2) の最初の版は F. Bauer と C. Fike, "Norms and exclusion theorems", Numer. Math. 2 (1960) 137–141 に現れる。(6.3.5) の元の版は ...

6.3.問題10問題 6.3.P10実対称行列A(t) = \begin{bmatrix} 0 & t \\ t & 0 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}を考える。\(A(t)\) の固有値は \(...

6.3.問題9問題 6.3.P9式 (6.3.5) の証明では、もし \(U = \in M_n\) がユニタリ行列であれば、行列 \(A = \) は二重確率行列（doubly stochastic）かつユニストカスティック（unisto...

6.3.問題8問題 6.3.P8式 (6.3.5) の証明の議論を用いて、定理の仮定の下で、整数 1, …, n の順列 \(\tau\) が存在して次を満たすことを示せ。\sum_{i=1}^{n} |\hat{\lambda}_{\ta...

6.3.問題7問題 6.3.P7次の行列を考える。A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad E = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end...

6.3.問題6問題 6.3.P6式 (6.3.4) は、正規行列において固有値の摂動と行列要素の摂動の比が有限であることを示している。しかし、行列の固有値はその特性多項式の零点にすぎない。この事実が前問の結論とどのように両立するかを説明せよ...

6.3.問題5問題 6.3.P5実数 \(t_0\) に対して多項式 \(p(t) = (t - t_0)^2\) を考える。 \(\epsilon > 0\) のとき、多項式 \(p(t) - \epsilon\) の零点が \(t_0 ...

6.3.問題4問題 6.3.P4\(A \in M_n\) を正規行列とし、\(S\) を \(\mathbb{C}^n\) の \(k\) 次元部分空間とする。さらに \(\gamma \in \mathbb{C}\)、\(\delta ...

6.3.問題3問題 6.3.P3正規行列 \(A \in M_n\) を次のように分割する：A = \begin{bmatrix} B & X \\ Y & C \end{bmatrix}ここで \(B \in M_k\)、\(C \in ...

6.3.問題2問題 6.3.P2式 (6.3.14) の上界は残差ベクトル \(r = A\hat{x} - \hat{\lambda}\hat{x}\) のノルムを含む。与えられた \(A \in M_n\) と非零ベクトル \(\hat...

6.3.問題1問題 6.3.P1\(A = \in M_n\) が正規行列であり、その固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。次を示せ。\sum_{i=1}^{n} |a_{ii} - \lamb...

6.3.問題集この節では、正規行列に関する固有値の誤差評価や残差ベクトル、部分行列との関係、摂動理論に関する重要な性質を確認する。問題 6.3.P1\(A = \in M_n\) が正規行列であり、その固有値を \(\lambda_1, \...

6.3.14定理 6.3.14.　\(A \in M_n\) が対角化可能な行列であり、\(A = S \Lambda S^{-1}\)、ただし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \l...

6.3.12この定理は、行列 \( A \in M_n \) の単純固有値 \( \lambda \) が、摂動 \( A + tE \) によってどのように変化するかを定量的に示すものである。ここで \( E \in M_n \) は任意...

6.3.10次の補題は、行列 \( A \in M_n \) の単純固有値に対応する右・左固有ベクトルの性質と、それを用いたブロック分解の存在を示している。補題 6.3.10. \( \lambda \) を \( A \in M_n \)...

6.3.8系6.3.8．\(A, E \in M_n\) とする。\(A\) がエルミートであり、\(A+E\) が正規であると仮定する。\(A\) の固有値を昇順に \(\lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n...

6.3.5定理6.3.5．\(A, E \in M_n\) とし、\(A\) と \(A+E\) の両方が正規であると仮定する。\(A\) の固有値をある順序で \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)、\(A+E\) の...

6.3.4\( A, E \in M_n \) とし、\( A \) が正規行列であるとする。このとき、もし \( \hat{\lambda} \) が \( A + E \) の固有値であるならば、\( A \) の固有値 \( \lam...

6.3.2\(A \in M_n\) が対角化可能であり、非特異行列 \(S\) を用いて \(A = S \Lambda S^{-1}\) と表されるとする。ここで \(\Lambda\) は対角行列である。また、\(E \in M_n\...

6.3.1\(A \in M_n\) が対角化可能であり、非特異行列 \(S\) を用いて \(A = S \Lambda S^{-1}\) と表されるとする。ここで \(\Lambda\) は対角行列である。また、\(E \in M_n\...

6.2.問題86.2.P8\(A \in M_n\) に対して \(\rho(A) \le \|A\|_\infty\) が成り立つことは既知である。\(A\) が不可約であり、かつ絶対値行和がすべて等しくない場合に、なぜ \(\rho(A...

6.2.問題76.2.P7\(A \in M_n\) を主対角成分がすべて 2、上対角成分がすべて −1 の実対称三重対角行列とする。(6.2.27) を用いて \(A\) が正定値であることを示せ。