4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.2]問題集
4.2問題集4.2.P1 (4.2.7–8) の主張が次の式と同値であることを説明しなさい。\lambda_k = \min_{\substack{S:\,\dim S = k}} \;\max_{\substack{x \in S \\ ...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.2.11]系
4.2.11系 4.2.12. 行列 \( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。もし \( k \) 次元部分空間のすべてのベクトル \( x \) に対して \( x^{*} A x \geq 0 \) が成り立つなら...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.2.10]定理
4.2.10定理 4.2.10. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を (4.2.1) に従って昇順に並べる。\( S \) を \( \mathbb{C}^n \) の \( k \) 次元部分空間、\( c...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.2.6]定理 4.2.6（クーラント＝フィッシャー）
4.2.6定理 4.2.6（クーラント＝フィッシャー）. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を代数的順序で \( \lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n \) とする。\( k...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.2.5]観察
4.2.5観察 4.2.5. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を (4.2.1) に従って \( \lambda_1(A) \leq \cdots \leq \lambda_n(A) \) と並べる。このとき...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.2.4]補題
4.2.4補題 4.2.4. 関数 \( f \) を集合 \( S \) 上の有界な実数値関数とする。ここで \( S_1, S_2 \) は集合であり、\( S_1 \) は空でなく、かつ \( S_1 \subset S_2 \sub...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.2.3]補題 4.2.3（部分空間の共通部分）
4.2.3補題 4.2.3（部分空間の共通部分） \( S_1, \ldots, S_k \) を \( \mathbb{C}^n \) の部分空間とする。もし\delta = \dim S_1 + \cdots + \dim S_k - ...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.2.2]定理（レイリー）
4.2.2定理 4.2.2（レイリー）. \(A \in M_n\) がエルミート行列であり、その固有値が (4.2.1) のように順序付けられているとする。整数 \(i_1, \ldots, i_k\) が \(1 \leq i_1 \l...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.2]変分的特徴づけと部分空間の交わり
この節の目次4.2.2 定理（レイリー）4.2.3 補題 4.2.3（部分空間の共通部分）4.2.4 補題4.2.5 観察4.2.6 定理 4.2.6（クーラント＝フィッシャー）4.2.10 定理4.2.11 系4.2問題集P1P2P3・・...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P30]
4.1.問題304.1.P30 \(A \in M_n\) がエルミートで \(\mathrm{rank}\,A = r > 0\) とする。\(A\) は rank-principal であるため、サイズ \(r\) の非零主小行列式を持...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P29]
4.1.問題294.1.P29\(A \in M_n\) がエルミートまたは実対称行列であるとする。\(A\) が不定（indefinite）であることは、少なくとも1つの正の固有値と少なくとも1つの負の固有値を持つことと同値である理由を説...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P28]
4.1.問題284.1.P28\(A \in M_n\) が \(B \oplus C\) にユニタリ相似である場合、ここで \(B \in M_k\)、\(C \in M_{n−k}\)、\(1 \le k \le n−1\) とする。こ...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P27]
4.1.問題274.1.P27\(A, P \in M_n\) とし、\(P\) が \(0\) でも \(I\) でもないエルミート射影であるとする。このとき、\(A\) が \(P\) と可換であることと、\(A\) があるユニタリ相似...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P26]
4.1.問題264.1.P26エルミート行列 \(P \in M_n\) が射影であることと、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在してP = U (I_k \oplus 0_{n-k}) U^{*}, \quad 0 \le...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P25]
4.1.問題254.1.P25\(A \in M_n\) をエルミート行列とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。このとき、複合行列 \(C_r(A)\) がエルミートであることを説明せよ。さらに、\(A\) が...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P24]
4.1.問題244.1.P24 \(A \in M_n\) をエルミート行列とする。このとき次を説明せよ：(a) \(\operatorname{adj}(A)\) はエルミートである。(b) \(A\) が半正定値なら \(\operat...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P23]
4.1.問題234.1.P23\(A, B \in M_n\) がエルミートであるとする。次を示せ：(a) \(AB\) がエルミートであることと、\(A\) が \(B\) と可換であることは同値である。(b) \(\operatorna...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P22]
4.1.問題224.1.P22エルミート行列 \(A\) の正半定部分 \(A^{+}\) の定義 (4.1.12) において、対角因子 \(\Lambda^{+}\) は一意に定まるが、ユニタリ因子 \(U\) は一意ではない。その理由を...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P21]
4.1.問題214.1.P21\(n \geq 2\) とし、\(x, y \in \mathbb{C}^n\)、および \(z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\) を与える。次を考える：エルミート行列 \(A ...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P20]
4.1.問題204.1.P20\(A \in M_n\) が射影であるとする。このとき、\(A\) がエルミート行列であることと、\(AA^{*}A = A\) が成り立つことは同値であることを示せ。
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P19]
4.1.問題194.1.P19\(A \in M_n\) が射影行列 \(A^2 = A\) の場合、\(A\) がエルミートであるとき、Hermitian projection と呼ぶ。さらに、\(A\) の像が零空間に直交している場合、...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P18]
4.1.問題184.1.P18\(A \in M_n\) が与えられたとき、A がエルミートであることは \(A^2 = A^*A\) と同値であることを示せ。
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P17]
4.1.問題174.1.P17\(A = \in M_2\) がエルミートで、固有値が \(\lambda_1, \lambda_2\) のとき、\((\lambda_1 - \lambda_2)^2 = (a_{11} - a_{22})...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P16]
4.1.問題164.1.P16任意の \(s, t \in \mathbb{R}\) に対して、\(\max\{|s|, |t|\} = \frac{1}{2}(|s+t| + |s-t|)\) であることを示せ。任意の \(A \in M...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P15]
4.1.問題154.1.P15\(A \in M_n\) がエルミート行列に相似であることは、対角化可能であり、固有値が実数であることと同値である理由を説明せよ。追加の同値条件については (7.6.P1) を参照。
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P14]
4.1.問題144.1.P14ある \(\theta \in \mathbb{R}\) に対して \(A = e^{i\theta} A^*\) が成り立つことと、\(e^{-i\theta/2} A\) がエルミートであることは同値である...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P13]
4.1.問題134.1.P13\(A \in M_n\) が非零であるとする。(a) \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^*A}\) が成り立ち、等...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P12]
4.1.問題124.1.P12\(A \in M_n\) が与えられたとき、\(A\) がエルミートならば、\(\mathrm{rank}\,A\) は非零固有値の数に等しいことを説明せよ。ただし、非エルミート行列では必ずしも成り立たない。...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P11]
4.1.問題114.1.P11\(A, B \in M_n\) がエルミートのとき、なぜ \(AB - BA\) が歪エルミートとなるかを説明し、(4.1.P10) から \(\mathrm{tr}(AB)^2 \le \mathrm{tr...
4.エルミート行列、対称行列、合同行列 [行列解析4.1.P10]
4.1.問題104.1.P10\(A \in M_n\) がエルミートであることは \(iA\) が歪エルミートであることと同値であることを示せ。歪エルミート行列 \(B \in M_n\) について、(a) \(B\) の固有値は純虚数で...