4.エルミート行列、対称行列、合同行列

4.3.49定理 4.3.49. \(n \ge 2\) とし、ベクトル \(x=\in\mathbb{R}^n\) および \(y=\in\mathbb{R}^n\) を与える。次の3条件は同値である：(a) \(x\) は \(y\) ...

4.3.48定理 4.3.48. \( n \ge 1 \) とし、\( x = \in \mathbb{R}^n \)、\( y = \in \mathbb{R}^n \) が与えられ、\( x \) が \( y \) をメジャライズす...

4.3.47定理 4.3.47. \( A, B \in M_n \) をエルミート行列とする。それぞれの固有値ベクトルを λ(A), λ(B), λ(A + B) とする。このとき以下が成り立つ：(a) (Fan) \( \lambda(...

4.3.45定理 4.3.45（Schur）. \( A = \in M_n \) をエルミート行列とする。その固有値のベクトル\lambda(A) = _{i=1}^nは、主対角成分のベクトルd(A) = _{i=1}^nをメジャライズす...

4.3.43定義（非増加順整列・非減少順整列）定義 4.3.43. \( z = \in \mathbb{R}^n \) とする。\( z \) の非増加順整列とは、\( z \) の成分（重複を含む）を大きい順に並べ替えたベクトルz^\d...

4.3.41定義 4.3.41. \( x = \in \mathbb{R}^n \)、\( y = \in \mathbb{R}^n \) とする。次が成り立つとき、\( x \) は \( y \) を メジャライズ（majorize）...

4.3.39系 4.3.39. \(A \in M\_n\) をエルミート行列とし、\(1 \leq m \leq n\) とする。このとき次が成り立つ。\lambda\_{1}(A) + \cdots + \lambda\_{m}(A)=...

4.3.37系 4.3.37. \(A \in M\_n\) をエルミート行列とし、\(1 \leq m \leq n\) とする。さらに、\(u\_1, \ldots, u\_m \in \mathbb{C}^n\) を直交規格化されたベ...

4.3.34系 4.3.34. \(A = \in M\_n\) をエルミート行列とし、(4.3.29) のように分割されているとする。また、\(A\) の固有値は (4.2.1) のように順序づけられているとする。このとき次が成り立つ。a...

4.3.28定理 4.3.28. エルミート行列 \(A \in M\_n\) を次のように分割する：(4.3.29)A =\begin{bmatrix}B & C \\C^{\ast} & D\end{bmatrix}, \quad B ...

4.3.26定理 4.3.26. 実数 \(\lambda\_1, \ldots, \lambda\_n\) および \(\mu\_1, \ldots, \mu\_n\) が次の「交錯不等式」を満たすとする。\lambda\_1 \leq ...

4.3.21定理 4.3.21. 実数列 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) および \(\mu_1, \ldots, \mu_{n+1}\) が次の相互はさみ込み不等式を満たすとする。\mu_1 \le \l...

4.3.17定理 4.3.17（Cauchy）. \(B \in M_n\) をエルミート行列、\(y \in \mathbb{C}^n\)、\(a \in \mathbb{R}\) を与えられたものとし、A =\begin{bmatrix...

4.3.15系 4.3.15. エルミート行列 \(A, B \in M_n\) を考える。このとき次が成り立つ。λ_i(A) + λ_1(B) ≤ λ_i(A + B) ≤ λ_i(A) + λ_n(B), i = 1, …, n(4.3...

4.3.12系 4.3.12. エルミート行列 \(A, B \in M_n\) を考える。ここで \(B\) が半正定値であるとする。このとき次が成り立つ。λ_i(A) ≤ λ_i(A + B), \\ i = 1, …, n(4.3.1...

4.3.9系 4.3.9 \(n ≥ 2\) とし、エルミート行列 \(A \in M_n\) および非ゼロベクトル \(z \in \mathbb{C}^n\) を考える。このとき次が成り立つ。λ_i(A) ≤ λ_i(A + zz^*)...

4.3.7系 4.3.7 エルミート行列 \(A, B \in M_n\) を考える。\(B\) が正の固有値をちょうど1つ、負の固有値をちょうど1つ持つとする。このとき次が成り立つ。λ_1(A + B) ≤ λ_2(A)λ_{i−1}(A...

4.3.5系 4.3.5 エルミート行列 \(A, B \in M_n\) を考える。\(B\) が特異で \(\operatorname{rank} B = r\) のとき、次が成り立つ。λ_i(A + B) ≤ λ_{i+r}(A), ...

4.3.3系 4.3.3 エルミート行列 \(A, B \in M_n\) を考える。\(B\) が正の固有値をちょうど \(\pi\) 個、負の固有値をちょうど \(\nu\) 個持つとする。このとき次が成り立つ。λ_i(A + B) ≤...

4.3.1定理 4.3.1（ワイルの定理） \(A, B ∈ M_n\) をエルミート行列とし、それぞれの固有値を \(A, B, A+B\) について \( \{λ_i(A)\}_{i=1}^n, \{λ_i(B)\}_{i=1}^n, ...

4.2.問題94.2.P9(4.2.10) の別証明を与えなさい。ただし、まず (4.2.7) から (b) を導き、次に \(-A\) に対して (b) を適用して (a) を導く方法によること。

4.2.問題84.2.P8 \( A, B \in M_n \) がエルミート行列であり、\( B \) が半正定値であるとする。また、固有値列 \(\{\lambda_i(A)\}_{i=1}^n\) と \(\{\lambda_i(B)...

4.2.問題74.2.P7ランク・ヌル定理 (0.2.3.1) が部分空間の交わり補題 (0.1.7.1) と (4.2.3) を含意することを示しなさい。

4.2.問題64.2.P6\( A \in M_n \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。ここでは \( A \) がエルミートであるとは仮定しない。次を示しなさい。\min_{x \n...

4.2.問題54.2.P5\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) とする。\( A \) の固有値は何か。また、次を求めよ。\max \left\{ \tfrac{x^T...

4.2.問題44.2.P4 \( A = = \in M_n \) とし、\(\sigma_1\) を \( A \) の最大特異値とする。前問をエルミート行列 \( A^{*} A \) に適用して次を示しなさい。\sigma_1 \ge...

4.2.問題34.2.P3\( A = \in M_n \) がエルミート行列のとき、(4.2.2(c)) を用いて次を示しなさい。\lambda_{\max}(A) \geq a_{ii} \geq \lambda_{\min}(A), ...

4.2.問題24.2.P2 \( A \in M_n \) がエルミート行列で、少なくとも1つの固有値が正であると仮定する。このとき、次を示しなさい。\lambda_{\max}(A) = \max \left\{ \tfrac{1}{x^...

4.2.問題14.2.P1 (4.2.7–8) の主張が次の式と同値であることを説明しなさい。\lambda_k = \min_{\substack{S:\,\dim S = k}} \;\max_{\substack{x \in S \\...