4.エルミート行列、対称行列、合同行列

4.4.問題74.4.P7証明 (4.4.3) の還元アルゴリズムを \(A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}\) に適用せよ。結果、\(\Lambda = \begin{pma...

4.4.問題64.4.P6行列 \(A \in M_2\) を (4.4.5) の記法で表す。(a) \(A\overline{A}\) が 2 つの非実共役固有値を持つことは \(-2|\det A| \lt \mathrm{tr}(A\...

4.4.問題54.4.P5 行列 \(A \in M_n\) とする。(a) (2.5.20(a)) を用いて、\(A\) が複素対称行列にユニタリ相似であることと、対称ユニタリ行列によって \(A\) が \(A^T\) に相似であること...

4.4.問題44.4.P4\(A\) が実対称の場合、(4.4.4c) は何を意味するか？ 実対称行列のスペクトル分解 (2.5.11a) とどのように関係するか？

4.4.問題34.4.P3(4.4.4c) の別のアプローチの詳細を示せ。行列 \(A \in M_n\) を対称とする。(a) \(A\overline{A}\) はエルミートなので、\(A\overline{A} = V \Sigma_...

4.4.問題24.4.P2実表現を用いた (4.4.4c) のアプローチの詳細を示せ。行列 \(A \in M_n\) を対称とする。もし \(A\) が特異であり \(\mathrm{rank} A = r\) ならば、ユニタリ合同で \...

4.4.問題14.4.P1行列 \(A \in M_n\) とする。(a) \(A\) が対称であることと、ランクが同じ行列 \(S \in M_n\) が存在して \(A = SS^T\) であることは同値であることを示せ。(b) \(A...

4.4.27定理 4.4.27. \( A \in M_n \) が対称行列であるとする。このとき、A は対角化可能であるのは、複素直交行列によって対角化可能である場合に限る。証明. もし複素直交行列 \( Q \) が存在して \( Q^...

4.4.26補題 4.4.26. \( X \in M_{n,k} \) で \( k \leq n \) とする。このとき、次が成り立つ。\( X^T X \) が非特異であるのは、\( X = YB \) と表せる場合に限る。ここで \...

4.4.25系 4.4.25. \( A \in M_n \) が与えられたとする。このとき、対称行列 \( B, C \in M_n \) が存在して、A = BCが成り立つ。さらに、\( B \) または \( C \) のいずれかを非...

4.4.24定理 4.4.24. 各 \( A \in M_n \) は、ある複素対称行列に相似である。証明. 各 \( A \in M_n \) は、ジョルダンブロックの直和に相似である。そして前の演習により、各ジョルダンブロックは対称行...

4.4.21系 4.4.21. \( V \in M_n \) をユニタリ行列とする。このとき \( V \) は次の形にユニタリ合同である。I_{\,n-2q} \oplus\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\-b_1 ...

4.4.19系 4.4.19. \( A \in M_n \) が歪対称行列であるとする。このとき、\( r = \mathrm{rank}(A) \) は偶数であり、\( A \) の非零特異値はペアで現れる。すなわち、\sigma_1 ...

4.4.18系 4.4.18. 複素正方行列は、それが実直交行列の非負スカラー倍の直和にユニタリ合同であるとき、かつそのときに限り、共役正規である。証明. 前の定理によれば、共役正規行列は、1×1 および 2×2 の実直交行列の非負スカラー...

4.4.16定理 4.4.16. \( A \in M_n \) が共役正規であるのは、それが次の形の直和にユニタリ合同である場合に限る：\Phi \;\oplus\; \tau_1 \begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\-...

4.4.15補題 4.4.15. \( A \in M_n \) が次のように分割されているとする：A = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\0 & A_{22}\end{bmatrix}ただし \( A_{...

4.4.14定義 4.4.14. \( A \in M_n \) が次を満たすとき、行列 \( A \) を共役正規（conjugate normal）であるという：AA^{*} = \overline{A^{*}A}練習問題. 複素対称行...

4.4.13系 4.4.13. \( A \in M_n \) とする。行列 \( A \overline{A} \) の非実固有値は共役な組で現れる。実数の負の固有値は等しい組で現れる。証明. (4.4.10) と同様に \( A \) ...

4.4.9定理 4.4.9（Youla）。\( A \in M_n \) を与える。\( p \in \{0,1,\ldots,n\} \) とし、\( A\overline{A} \) がちょうど \( p \) 個の実数の非負固有値をも...

4.4.5命題 4.4.5. \( A \in M_2 \) とし、\( \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq 0 \) を \( S(A) = \tfrac{1}{2}(A + A^T) \) の特異値とする。もし \(...

4.4.4系 4.4.4. \( A \in M\_n \) とする。(a) もしユニタリ行列 \( U \in M\_n \) が存在して \( A = UDU^T \) となり、\( D \) が上三角行列であるならば、\( A\bar...

4.4.3定理 4.4.3. \(A \in M_n\) と \(p \in \{0,1,\dots,n\}\) を与える。\(A\bar{A}\) が少なくとも \(p\) 個の実かつ非負の固有値（ここでは \(\lambda_1,\do...

4.4.2補題 4.4.2. \(A \in M\_n\) とし、\(\lambda\) を \(A \bar{A}\) の固有値、\(x \in \mathbb{C}^n\) を \(\lambda\) に対応する \(A \bar{A}...

4.3.注とさらなる読書メジャライゼーションについては Marshall と Olkin (1979) を参照せよ。リツキー不等式 (4.3.47b) は多くの重要な摂動評価の基盤となる。(6.3) および (7.4) を参照のこと。これら...

4.3.問題304.3.P30シュールのメジャライゼーション定理 (4.3.45) には、ブロック行列に対する一般化があり、不等式 (4.3.46) に中間項を導入する。\(A = _{i,j=1}^k\) を分割されたエルミート行列とし、...

4.3.問題294.3.P29\(A = _{i,j=1}^m \in M_n\) をエルミート行列とし、各 \(i = 1, \ldots, m\) に対して \(A_{ii} \in M_{n_i}\) であり、\(n_1 + \cdo...

4.3.問題284.3.P28(4.3.47) の仮定のもとで、次の主張\lambda(A + B)^{\downarrow} + \lambda(A - B)^{\downarrow} \succeq 2\lambda(A)が、ファンの不...

4.3.問題274.3.P27\(A \in M_n, \; y, z \in \mathbb{C}^n, \; a \in \mathbb{C}\) を与える。\(1 \leq \mathrm{rank} A = r \lt n\) とし...