4.エルミート行列、対称行列、合同行列

4.4.問題374.4.P370 でない \(\lambda \in \mathbb{C}\) と整数 \(m \ge 2\) が与えられたとする。ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\) に相似な複素対称行列 \(B \in ...

4.4.問題364.4.P36非特異行列 \(A \in M_n\) が与えられ、非特異複素対称行列 \(S \in M_n\) が存在して \(A^T = S A^{-1} S^{-1}\) が成り立つとする。次の手順で \(A\) が複...

4.4.問題354.4.P35なぜ実直交行列は対角化可能か？そのジョルダン標準形は？実ジョルダン標準形は？

4.4.問題344.4.P34複素対称行列は任意のジョルダン標準形を持てるが (4.4.24)、複素斜対称行列のジョルダン標準形は特別な形式を持つ。それは次の3種類の直和ブロックのみから構成される：(a) \(\lambda \neq 0\...

4.4.問題334.4.P33\(A \in M_n\) が二つの斜対称行列の積であるのは、かつその場合に限り、\(A\) のジョルダン標準形の非特異部分が \(J_k(\lambda) \oplus J_k(\lambda)\) のペアの...

4.4.問題324.4.P32\(A \in M_n\) は、対称行列と斜対称行列の積として表せるのは、かつその場合に限り、\(A\) が \(-A\) に相似である場合であることが知られている。つまり、\(A\) のジョルダン標準形の非特...

4.4.問題314.4.P31行列 \(A \in M_n\) のジョルダン標準形のどの性質が、両方の因子が対称となる形で \(A = BC\) と書けるために必要かつ十分か？

4.4.問題304.4.P30なぜ \(A \in M_n\) の次の性質が相似不変量（すなわち、相似同値類の一つの行列が持つ場合、その類のすべての行列が持つ）であるか説明せよ：\(A = BC\) と書け、かつ一方の因子が対称、他方が斜対...

4.4.問題294.4.P29\(A_{ij} \in M_n, i,j=1,2\) とし、\(A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \in...

4.4.問題284.4.P28\(A \in M_n\) とする。なぜ \(\det(I + A \overline{A})\) が実数かつ非負であるか示せ。

4.4.問題274.4.P27\(A = \in M_n\) を対称行列とし、\(A = U \Sigma U^T\) と表す。ただし、\(U = \) はユニタリ行列、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, ...

4.4.問題264.4.P26実行列 \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\) が複素直交行列で相似であることと、実直交行列で相似であることが同値であることを示せ。

4.4.問題254.4.P25対称行列 \(A \in M_n\) の固有値・固有ベクトルペアを \((\lambda, x)\) とする。(a) なぜ \(\overline{x}\) が \(A\) の左固有ベクトルとなるか説明せよ。(...

4.4.問題244.4.P24\(\lambda\) を \(A \in M_n\) の固有値とする。右固有ベクトル \(x\) と左固有ベクトル \(\overline{x}\) を考える。(a) \(x\) が等方的 (0.2.5) で...

4.4.問題234.4.P23\(A \in M_n\) がテプリッツ行列、\(K_n \in M_n\) が逆行列とする。なぜ \(A = (K_n U) \Sigma U^T\) の特異値分解を持つか、ユニタリ行列 \(U \in M_...

4.4.問題224.4.P22\(A \in M_n\) が対称で \(A^2 = I\) とする。なぜ複素直交行列 \(Q \in M_n\) と整数 \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) が存在して、\(A = Q(-I_...

4.4.問題214.4.P21実ジョルダンブロック \(C_m(a,b)\) と逆行列 \(K_{2m}\)（0.9.5.1）を考える。なぜ \(\hat{C}_m(a,b) = K_{2m} C_m(a,b)\) が実対称であるか説明せよ...

4.4.問題204.4.P20ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\)（3.1.2）と逆行列 \(K_m\)（0.9.5.1）を考える。なぜ \(\hat{J}_m(\lambda) = K_m J_m(\lambda)\) が...

4.4.問題194.4.P19\(A \in M_n\) とする。なぜ \(\mathrm{tr}(A\overline{A})\) は実数（必ずしも非負ではない）であるかを説明し、\(\mathrm{tr}(AA^*) \ge \math...

4.4.問題184.4.P18\(A \in M_n\) が共役正規であることと、実正規行列にユニタリ合同であることが同値である理由を説明せよ。

4.4.問題174.4.P17対称行列 \(A \in M_n\) の最大特異値を \(\sigma_1\) とする。示せ：\(\{ x^T A x : \|x\|_2 = 1 \} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| ...

4.4.問題164.4.P16(4.4.17) の 2×2 実直交ブロックは、非実非負でない \(A\overline{A}\) の固有値ペア \(\tau_{2j} e^{\pm 2i \theta_j}\), \(\theta_j \i...

4.4.問題154.4.P15\(A, B \in M_n\) が共役正規行列であるとする。\(A\overline{A}\) と \(B\overline{B}\) が同じ固有値を持つ場合に限り、\(A\) と \(B\) がユニタリ合同...

4.4.問題144.4.P14複素変数 \(z = ^T\) のベクトルとし、関数 \(f(z)\) をある領域 \(D \subset \mathbb{C}^n\) 上の複素解析関数とする。このとき \(H = \in M_n\) は、任...

4.4.問題134.4.P13すべての実正方行列は実対称行列に相似か？ 複素対称行列に相似か？ 実相似行列を介してなぜか説明せよ。

4.4.問題124.4.P12(4.4.24) から、任意の正方複素行列はその転置と相似であることを導け。

4.4.問題114.4.P11行列 \(A \in M_n\) が対称かつ正則である場合、\(A^{-1}\) も対称であることを示せ。

4.4.問題104.4.P10\(n > 1\) で \(v \in \mathbb{C}^n\) が非零の等方ベクトルである場合、対称行列 \(A = vv^T\) が対角化できない理由は？ そのジョルダン標準形は？

4.4.問題94.4.P9行列 \(A \in M_n\) とする。(a) \(U A U^*\) が実行列となるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在することは、対称ユニタリ \(W \in M_n\) が存在して \(\ove...

4.4.問題84.4.P8証明 (4.4.3) の還元アルゴリズムを \(A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}\) に適用せよ。結果、\(\mathrm{diag}(\sqrt{2...