4.エルミート行列、対称行列、合同行列

4.5.24定理定理 4.5.24. 与えられた \(A \in M_n\) に対して、\(A = H + iK\) と表すとき、ここで \(H\) と \(K\) はエルミート行列であるとします。\(B\) を \(A\) の正則部分とし...

4.5.22定理定理 4.5.22. \(A, B \in M_p\)、および \(C \in M_q\) とする。このとき、\(A \oplus C\) と \(B \oplus C\) が ∗合同であるのは、\(A\) と \(B\) ...

4.5.21定理定理 4.5.21. 各正方複素行列は、次の3種類の型の行列の直和に ∗合同であり、この直和は直和因子の順列を除いて一意に定まる：型 0: \(J_k(0), \; k = 1, 2, \dots\)型 I: \(\Lamb...

4.5.18補題補題 4.5.18. \(A \in M_n\) を与える。ここで \(A = H + iK\) とし、\(H\) と \(K\) はエルミート行列とする。このとき、\(A\) が ∗合同によって対角化可能であるのは、\(H...

4.5.17定理定理 4.5.17. \(A, B \in M_n\) とする。(a) \(A\) と \(B\) がエルミートであり、かつ \(A\) が非特異であるとする。このとき \(C = A^{-1}B\) とおく。ある非特異行列...

定義 4.5.16.行列 \( A \in M_n \) が共対角化可能 (condiagonalizable) であるとは、ある正則行列 \( S \in M_n \) と対角行列 \( \Theta \in M_n \) が存在して、A...

4.5.15定理定理 4.5.15. \( A, B \in M_n \) とする。(a) \( A, B \) がエルミート行列であると仮定する。このとき、ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と実対角行列 \( \Theta, ...

4.5.13定理 4.5.13. 対称行列 \( A \in M_n \) と任意の \( S \in M_n \) に対して、次を仮定する：\( A = U \Theta U^T \)、および \( SAS^T = VMV^T \) はそ...

4.5.12定理 4.5.12：対称行列 \(A, B \in M_n\) に対して、ある正則行列 \(S \in M_n\) が存在してA = SB S^{T}が成り立つのは、必要十分条件として \(\mathrm{rank}\, A =...

4.5.11系 4.5.11：\(A, S \in M_n\) とし、\(A\) はエルミート行列とする。\(A\) の固有値を降順に並べ（4.2.1）、\(S\) の最小の特異値を \(\sigma_n\)、最大の特異値を \(\sigm...

4.5.9定理 4.5.9（Ostrowski）： \(A, S \in M_n\) とし、\(A\) はエルミート行列、\(S\) は非特異行列とする。\(A\)、\(SAS^{*}\)、および \(SS^{*}\) の固有値を昇順に並べ...

4.5.8定理 4.5.8 （シルベスター）. エルミート行列 \(A, B \in M_{n}\) は、同じ慣性を持つ場合、すなわち正の固有値の数と負の固有値の数が一致する場合に限り、∗合同である。証明. 各行列 \(A\) および \(...

4.5.7定理 4.5.7. 任意のエルミート行列は、その慣性行列に ∗合同である。演習. \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\) が対称行列である場合、前節の議論を修正して、\(A\) が実行列によってその慣性行列に合同で...

4.5.6定義 4.5.6. \(A \in M_{n}\) がエルミート行列であるとする。\(A\) の慣性（inertia）とは、順序付き三つ組i(A) = (i_{+}(A), i_{-}(A), i_{0}(A))をいう。ここで \...

4.5.5定理 4.5.5. ∗合同および合同はいずれも同値関係である。証明. 反射律: \(A = I A I^{*}\)。対称律: もし \(A = S B S^{*}\) であり、かつ \(S\) が正則であれば、B = S^{-1}...

4.5.4定義 4.5.4. \(A, B \in M_n\) とする。次の条件を満たす非特異行列 \(S\) が存在するとき、次のように定義する。(a) \(B = SAS^*\) であるとき、\(B\) は \(A\) に対して ∗合同...

4.4.注記参考文献および追加読書。任意の正方複素行列に対してユニタリ合同で達成できるブロック上三角形形式については、D. C. Youla, "A normal form for a matrix under the unitary co...

4.4.問題494.4.P49\(A \in M_n\) が、単位行列および以下の形式のブロックの直和である非負準対角行列 \(\Phi\) であるとする：\begin{pmatrix} 0 & \sigma \\ -\sigma^{-1}...

4.4.問題484.4.P48\(A \in M_n\) が異なる特異値を持つと仮定する。(4.4.16) を用いて、\(A\) が共役正規であることと対称であることが同値であることを示せ。

4.4.問題474.4.P47(2.5.P69) の定義と表記を用いる。(a) \(M_A \bar{W} = W M_B\) のとき、\(W\) はブロック上三角であり、奇数の場合は \(W_{ii} = W_{11}\)、偶数の場合も ...

4.4.問題464.4.P46この問題は (2.5.P69) および (2.5.P70) を基にしている。(a) \(A, B \in M_n\) がユニタリ合同であるとき、三組 \((AA^*, BB^*)\)、\((A \bar{A},...

4.4.問題454.4.P45\(U, V \in M_n\) がユニタリかつ対称である場合、\(U\) と \(V\) はユニタリ合同であることを示せ。

4.4.問題444.4.P44\(A \in M_n\) に対して、(a) \(A \bar{A} = AA^*\) が成り立つのは、かつその場合に限り、\(A\) が対称である場合である。(b) \(A \bar{A} = -AA^*\)...

4.4.問題434.4.P43\(A \in M_n\) とし、\(A \bar{A}\) が半正定値であると仮定する。正準形 (4.4.30) から、\(A\) は各ブロックが\begin{pmatrix}\sigma\end{pmatr...

4.4.問題424.4.P42\(A \in M_n\) とし、\(A \bar{A}\) がエルミート行列であると仮定する。正準形 (4.4.29) から、\(A\) は各ブロックが\begin{pmatrix}\sigma\end{pm...

4.4.問題414.4.P41\(A \in M_n\) に対して \(A \bar{A}\) が正規（すなわち \(A\) は合同正規）であるのは、かつその場合に限り、\(A\) は各ブロックが\begin{pmatrix}\sigma\...

4.4.問題404.4.P40\(A \in M_n\) とし、次の行列を定義する：A_{2n} = \begin{pmatrix} 0 & A \\ \bar{A} & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}.(a) \(A...

4.4.問題394.4.P39前問の QS 分解を用いて、(4.4.27) のやや強いバージョンを証明せよ：\(A \in M_n\) が対称で、ある非特異行列 \(B\) と対角行列 \(\Lambda\) に対して \(A = B \L...

4.4.問題384.4.P38\(A \in M_n\) とし、次の行列を定義する：A_{2n} = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^T & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}.行列 \(A\) が ...