4.エルミート行列、対称行列、合同行列

4.6.18定理 4.6.18. 任意の行列 A, B ∈ M_n に対して、次の条件は同値である。(a) A と B は共役相似（consimilar）である。(b)\begin{pmatrix} 0 & A \\ \bar{A} & 0...

4.6.17系 4.6.17. 任意の行列 A ∈ M_n に対して、次が成り立つ。(a) A = HS（または A = SH）と書け、ここで H はエルミート行列、S は対称行列であり、どちらの因子も非特異に選ぶことができる。(b) A ...

4.6.16系 4.6.16. 任意の行列 A ∈ M_n に対して、A ¯A は実行列の二乗と相似である。証明：系 4.6.15 により、非特異な行列 S ∈ M_n および実行列 R ∈ M_n(ℝ) が存在して、A = SR¯S −1...

4.6.15系 4.6.15. 任意の行列 \(A ∈ M_n\) に対して、\(A\) は \(−A\)、\(\overline{A}\)、\(A^T\)、\(A^∗\)、エルミート行列、および実行列と共役相似である。

4.6.14系系 4.6.14. 任意の行列 \(A, B \in M_{n}\) に対して、\(A\) が \(B\) と共役相似であるのは、\(A \overline{A}\) が \(B \overline{B}\) と相似であり、\...

4.6.13定理 4.6.13. 任意の行列 A, B ∈ M_p および C ∈ M_q に対して、A ⊕ C が B ⊕ C と共役相似であるのは、A が B と共役相似である場合に限る。A ¯A のジョルダン標準形には特別な形がある：...

4.6.12定理 4.6.12. 任意の複素正方行列は、共役相似によって、以下の3種類の行列の直和に変形可能であり、直和の各成分の順序を除いて一意的である。Type 0: \(J_k(0)\), \(k = 1,2,\dots\)Type ...

4.6.10定理 4.6.11. \(A \in M_n\) が与えられたとする。このとき、\(A\) が円対角化可能であるための必要十分条件は、(1) \(A \overline{A}\) が相似変換により対角化可能であり、(2) \(A...

4.6.9補題 4.6.9. \(A \in M_n\) が与えられているとする。このとき、\(A \overline{A} = I\) であることと、ある正則行列 \(S \in M_n\) が存在してA = S \overline{S}...

4.6.8系 4.6.8. \(A \in M_n\) が与えられ、行列 \(A \overline{A}\) が \(k\) 個の異なる非負の固有値をもつとする。(a) 行列 \(A\) は少なくとも \(k\) 個の一次独立な共役-固有...

4.6.7命題 4.6.7. \(A \in M_n\) を与える。\(x_1, x_2, \ldots, x_k\) を \(A\) の円固有ベクトルとし、それぞれに対応する円固有値を \(\lambda_1, \lambda_2, \l...

4.6.6命題 4.6.6. \(A \in M_n\)、\(\lambda \geq 0\) を与える。ここで \(\sigma = \sqrt{\lambda} \geq 0\) とし、非零ベクトル \(x\) が存在して \(A \b...

4.6.5定義 4.6.5　\(A \in M_{n}\) が与えられているとする。ある \(\lambda \in \mathbb{C}\) に対して \(A \overline{x} = \lambda x\) を満たす非零ベクトル \...

4.6.4定理 4.6.4　行列 \(A \in M_{n}\) がユニタリ共役対角化可能であるのは、\(A\) が対称行列である場合に限る。では、与えられた正方行列が非対称である場合、それが（必然的に非ユニタリな）共役相似によって共役対角...

4.6.3定理 4.6.3　\(A \in M_{n}\) が与えられているとする。次の条件は同値である：(a) \(A\) は反三角化可能である。(b) \(A\) はユニタリ反三角化可能である。(c) \(A \overline{A}\...

4.6.2定義 4.6.2　行列 \(A \in M_{n}\) が反三角化可能（contriangularizable）であるとは、正則な \(S \in M_{n}\) が存在して \(S^{-1} A \overline{S}\) が...

4.6.1定義 4.6.1　行列 \(A, B \in M_{n}\) が相似共役（consimilar）であるとは、正則な \(S \in M_{n}\) が存在してA = S B\overline{S}^{-1}が成り立つことをいいます...

4.5.注釈補足および参考文献：二つ以上の行列の同時対角化に関する結果（および (4.5.P23 および P24) の主張の証明）については、Y. P. Hong と R. A. Horn, “On simultaneous reducti...

4.5.問題374.5.P37\(A ∈ M_n\) を正則行列とする。次の六つの条件が同値であることを示せ（(a) と (b) の同値は (4.5.24) に示されている）：(a) \(A\) は ∗合同で対角化可能である。すなわち、正則...

4.5.問題364.5.P36\(A, B ∈ M_n\) はエルミート行列とする。\(A\) が不定であり、\(x ∈ C^n\) で \(x^* A x = 0\) のとき常に \(x^* B x = 0\) となると仮定する。(a) ...

4.5.問題354.5.P35A = \begin{pmatrix} 1 &-1 \\ -1 &1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}(a) (4.5...

4.5.問題344.5.P34\(A ∈ M_n\) とする。(4.5.21) を用いて \(A\) が \(A^T\) に ∗合同であることを示せ。

4.5.問題334.5.P33\(A ∈ M_n\) とする。(4.5.25) を用いて \(A\) が \(A^T\) に合同であることを示せ。

4.5.問題324.5.P32 \(A ∈ M_{2n}\) が四元数型行列(クォータニオン型行列)である場合 (4.4.P29 を参照)、次を説明せよ：\(A\) が四元数型行列であるとは、\(A_{21} = -\overline{A_...

4.5.問題314.5.P31(a)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{pmatrix}は実行列に合同であるが、\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2i & 0 \end{pmatrix}は...

4.5.問題304.5.P30\(A ∈ M_n\) とする。\(A\) が \(\overline{A}\) に合同（それぞれ ∗合同）であるのは、\(A\) が実行列に合同（それぞれ ∗合同）である場合に限ることを説明せよ。

4.5.問題294.5.P29\(A ∈ M_n\) が \(\overline{A}\) に ∗合同であるとする。(a) (4.5.21) を用いて、\(A\) が次の直和に ∗合同であることを示せ： \(J_k(0), \pm \Gam...

4.5.問題284.5.P28\(A ∈ M_n\) が \(\overline{A}\) に合同であるとする。(a) (4.5.25) および (4.5.P26) を用いて、A が次の直和に合同であることを示せ： \(J_k(0), \G...

4.5.問題274.5.P27\(B ∈ M_n\) とし、\(C = B ⊕ \overline{B}\) を定義する。さらに次の行列を定義する：S = \frac{e^{iπ/4}}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0...