4.エルミート行列、対称行列、合同行列

4.6.補足と参考文献共役相似（consimilarity）や (4.6.P4) の最後の文にある主張の証明について詳しく知りたい場合は、(4.5) の末尾で引用されている Hong と Horn の論文を参照せよ。(4.6.12) および...

4.6.問題284.6.P28次の行列を考える：A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}これは実行列、複素行列、または四元数行列として扱うことができる。次を確認せよ：(a) \(A\...

4.6.問題274.6.P27(4.6.9) のユニタリ共役相似の類似版がある：\(B \in M_m\) で \(B \bar{B} = I\) のとき、ユニタリ行列 \(U \in M_m\) が存在して次を満たす：B = U \Big...

4.6.問題264.6.P26\( \in M_n\) を上三角行列とする。行列 \(\) と \(D = d_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus d_k I_{n_k}\) が同じ主対角線を持ち、かつ \(d_1...

4.6.問題254.6.P25(4.5.P35) を再訪せよ。(4.5.17) を使って、非特異行列 \(S \in M_2\) が存在して、\(S^* A S\) と \(S^T B S\) が両方とも対角行列になることはないことを示せ。

4.6.問題244.6.P24 \(A \in M_n\) とし、次の行列を考える：A =\begin{pmatrix}0 & A \\\bar{A} & 0\end{pmatrix} \in M_{2n}コローラリー 4.6.15 により...

4.6.問題234.6.P23\(A \in M_n\) とする。\(J = B \oplus N\) を \(A \bar{A}\) のジョルダン標準形とする。ただし、\(B\) は非特異、\(N\) はニルポテンシャントである。(4.6...

4.6.問題224.6.P22ニルポテンシャント・ジョルダン行列 \(J = J_{n_1}(0) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(0)\) を考え、\(q = \max\{n_1, \dots, n_k\}\) ...

4.6.問題214.6.P21\(A \in M_n\) が共役対角化可能（condiagonalizable）であるとする。次のアルゴリズムにより、\(A \bar{A}\) の通常の対角化から \(A\) の共役対角化を構成する手順を詳...

4.6.問題204.6.P20\(A \in M_n\) が特異（singular）であるとする。次を説明せよ：零の共役-固有値に対応する共役-固有空間 \(N = \{x \in \mathbb{C}^n : A \bar{x} = 0\...

4.6.問題194.6.P19\(A, B \in M_n\) とする。実表現 \(R_2(A)\) と \(R_2(B)\) が相似（similar）であるのは、\(A\) と \(B\) が共役相似（consimilar）である場合に限...

4.6.問題184.6.P18\(A \in M_n\) を \(A = A_1 + i A_2\) と書き、\(A_1, A_2 \in M_n(\mathbb{R})\) とする。その実表現を次のように定義する：R_2(A) = \be...

4.6.問題174.6.P17\(A \in M_n\) が与えられ、\(\lambda\) が \(A \bar{A}\) の正の固有値で幾何重複度 \(g \ge 1\) とする。また \(\sigma = \sqrt{\lambda}...

4.6.問題164.6.P16\(A \in M_n\) が与えられ、\(\lambda\) が \(A \bar{A}\) の正の固有値であり幾何重複度 \(g \ge 1\) とする。また \(\sigma = \sqrt{\lambd...

4.6.問題154.6.P15(4.6.14) を用いて、任意の \(\theta \in \mathbb{R}\) に対して \(A \in M_n\) が \(e^{i\theta} A\) と共役相似であることを示せ。

4.6.問題144.6.P14\(\mu \in \mathbb{C}\) とする。\(H_{2k}(\mu)\) が \(H_{2k}(\bar{\mu})\) と共役相似であることを示せ。次に (4.6.12) を用いて、任意の \(A...

4.6.問題134.6.P13(4.6.17b) の因数分解は、任意の複素数 \(z\) を \(z = r e^{i\theta}\) （\(r\) と \(\theta\) は実数）と書けることをどのように一般化するか？\(A \in ...

4.6.問題124.6.P12A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}とする。\(A\) の Jordan 標準形が \(J_2(0)\) である理由を説明せよ。(a) (4.6.1...

4.6.問題114.6.P11\(A \in M_n(\mathbb{R})\) の場合、その共役-標準形（concanonical form）の特異部分が Jordan 標準形の特異部分と同じ理由を説明せよ。

4.6.問題104.6.P10\(A \in M_n\) が対称行列であるとする。(4.6.11) の主張から、\(A\) が共対角化可能（必ずしもユニタリでない）であることを導け。さらに次の3ステップで (4.6.11) の証明を修正し、...

4.6.問題94.6.P9\(A \in M_n\) が与えられ、\(n\) が奇数であるとする。このとき \(A\) が共役-固有対（coneigenpair）を持つ理由を説明せよ。

4.6.問題84.6.P8\(A \in M_n\) が対角行列または上三角行列である場合、\(A\) の固有値と共役-固有値の関係を示せ：もし \(\lambda\) が \(A\) の固有値であれば、任意の \(\theta \in \...

4.6.問題74.6.P7\(A \in M_n\) が共反転行列（coninvolutory）であるとする。任意の \(X \in M_n\) に対して \(A \bar{X} = X A\) を満たす場合、\(S X S^{-1}\) ...

4.6.問題64.6.P6補題 4.6.9 によれば、A ∈ M_n は非特異 S ∈ M_n に対して A = S ¯S^{-1} と分解できるのは、A ¯A = I の場合である。A がユニタリ U ∈ M_n を用いて A = U ¯...

4.6.問題54.6.P5A ∈ M_n が A ¯A = \Lambda = λ_1 I_{n_1} ⊕ ... ⊕ λ_k I_{n_k} を満たし、i ≠ j の場合 λ_i ≠ λ_j、かつ全ての λ_i ≥ 0 とする。このとき、...

4.6.問題44.6.P4定理 4.6.11 は単一行列が共対角化可能であるための必要十分条件を与えるが、複数の行列を同時に共対角化する場合はどうなるか？{A_1, A_2, ..., A_k} ⊂ M_n が与えられ、非特異行列 S ∈ ...

4.6.問題34.6.P3任意の行列 A ∈ M_n が与えられ、λ が A の正の共役-固有値（positive coneigenvalue）であり、x_1, ..., x_k が λ に対応する共役-固有ベクトル（coneigenvec...

4.6.問題24.6.P2(a)\begin{pmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{pmatrix}は相似による対角化はできないが、共対角化（condiagonalizable）可能であることを示せ。(b)\begin{...

4.6.問題14.6.P1なぜ共役相似（consimilarity）が M_n 上で同値関係となるのかを説明せよ。