3.標準形と三角因子分解

3.2問題193.2.P19\(A\in M_n\)、\(\lambda\) を \(A\) の固有値とする。(a) 次の2条件が同値であることを示せ： (i) \(\lambda\) に対応する \(A\) のすべてのジョルダンブロックの...

3.2問題183.2.P18\(A\in M_n\) とする。3.2.7 で述べたジョルダン分解 \(A=A_D+A_N\)（\(A_D\) は対角化可能成分、\(A_N\) は冪零成分、かつ互いに可換）は一意であることを示せ。すなわち、も...

3.2問題173.2.P17\(A\in M_n\) とする。次を示せ：\(\mathrm{rank}\,A=\mathrm{rank}\,A^2\) であることは、固有値 \(\lambda=0\) の幾何的重複度と代数的重複度が等しいこ...

3.2問題163.2.P16 次のことを示せ。\(A \in M_n\) のジョルダン標準形が \(J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)\) であり、かつ \(A\)...

3.2問題153.2.P15\( A \in M_n \)、\( B, C \in M_m \) が与えられたとする。\( A \oplus (B \oplus \cdots \oplus B) \)（\( k \) 個の直和）と \( A...

3.2問題143.2.P14\( B, C \in M_m \) および正の整数 \( k \) が与えられたとする。\( B \oplus \cdots \oplus B \)（\( k \) 個の直和）と \( C \oplus \cd...

3.2問題133.2.P13（相似に関する消去定理）\( A \in M_n \)、\( B, C \in M_m \) とする。このとき、\begin{bmatrix}A & 0 \\0 & B\end{bmatrix}\sim\begi...

3.2問題123.2.P12\( A \) のジョルダン標準形に2つ以上の非正則ジョルダンブロックが含まれる場合、\(\mathrm{adj}\, A = 0\) となる理由を説明しなさい。

3.2問題113.2.P11ある非正則行列 \( A \in M_n \) のジョルダン標準形が \( J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_{k-1}}(\lambda_{k-1}) \...

3.2問題103.2.P10ある正則行列 \( A \in M_n \) のジョルダン標準形が \( J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\lambda_k) \) であるとする。...

3.2問題93.2.P9\( k \geq 2 \) とする。 \(\mathrm{adj}\, J_k(\lambda)\) のジョルダン標準形が、\(\lambda \neq 0\) のとき \( J_k(\lambda^{k-1}) ...

3.2問題83.2.P8特性多項式 \( p_A(t) = (t+3)^4 (t-4)^2 \) を持つ \( A \in M_6 \) の可能なジョルダン標準形は何ですか？

3.2問題73.2.P7\( A^3 = I \) を満たす \( A \in M_n \) の可能なジョルダン形は何ですか？

3.2問題63.2.P6線形変換 \( \frac{d}{dt} : p(t) \mapsto p'(t) \) が、次数が最大3の多項式全体のベクトル空間で作用するとき、その基底表現は基底 \( B = \{1, t, t^2, t^3\...

3.2問題53.2.P5行列 \( A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & -i \end{bmatrix} \) のジョルダン標準形は何ですか？

3.2問題43.2.P4\( A \in M_n \) が特異行列であり、その階数を \( r = \text{rank}\,A \) とする。(2.4.P28) で、\( A \) を消去する次数 \( r+1 \) の多項式が存在するこ...

3.2問題33.2.P3\( A = B + iC \in M_n \) とし、ここで \( B \) と \( C \) は実行列である (0.2.5)。さらに、\( A \) のジョルダン標準形を \( J \) とする。実表現R_1(...

3.2問題23.2.P2\( A \in M_n \) とする。もし \( A \) と可換なすべての行列が \( A \) の多項式であるならば、\( A \) が非退化（nonderogatory）であることを示せ。

3.2問題13.2.P1\( F = \{ A_{\alpha} : \alpha \in I \} \subset M_n \) を添字集合 \( I \) によって添字付けられた行列族とする。ある非退化（nonderogatory）な行...

3.2問題集3.2.P1 \( F = \{ A_{\alpha} : \alpha \in I \} \subset M_n \) を添字集合 \( I \) によって添字付けられた行列族とする。ある非退化（nonderogatory）な...

3.2.13.13.2.13 ランク1摂動のジョルダン標準形。ランク1摂動の固有値に関するブラウアーの定理（(1.2.8) および (2.4.10.1)）には、ジョルダンブロックに対する類似の結果があります。特定の条件のもとで、複素正方行列...

3.2.133.2.13 ランク1摂動のジョルダン標準形。ランク1摂動の固有値に関するブラウアーの定理（(1.2.8) および (2.4.10.1)）には、ジョルダンブロックに対する類似の結果があります。特定の条件のもとで、複素正方行列の1...

3.2.12.1定義 3.2.12.1. \( A \in M_n \) とする。次の形に表されると仮定する：A = S \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & N \end{bmatrix} S^{-1} \tag{3....

3.2.123.2.12 ドレジン逆行列. \( A \in M_n \) が与えられたとき、\( AXA = A \) を満たす任意の \( X \in M_n \) を \( A \) の一般化逆行列と呼ぶ。一般化逆行列にはいくつかの種...

3.2.11.1定理 3.2.11.1. \( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{n,m} \) とする。AB の各非零固有値 \( \lambda \) および各 \( k = 1,2,\dots \) に対して、...

3.2.113.2.11 AB と BA. \( A \in M_{m,n} \) および \( B \in M_{n,m} \) のとき、(1.3.22) により AB と BA の非零固有値はその重複度を含めて同じであることが保証される...

3.2.10.2定理 3.2.10.1. \( A = _{i,j=1}^{p} \in M_n \) をブロック上三角行列とする。すなわち、各 \( A_{ii} \) は正方行列であり、\( i > j \) のとき \( A_{ij}...

3.2.10.1定理 3.2.10.1. \( A = _{i,j=1}^{p} \in M_n \) をブロック上三角行列とする。すなわち、各 \( A_{ii} \) は正方行列であり、\( i > j \) のとき \( A_{ij}...

3.2.103.2.10 ブロック上三角行列の固有値の指数。行列 \( A \in M_n \) の固有値 \( \lambda \) の指数（Aにおけるλの指数）は、同値に次のいずれかで定義される。(a) 固有値 λ を持つ A の最大の...

3.2.9.5定理 3.2.9.5. \( A, B \in M_n \) が与えられ、\( B \) が正確に \( p \) 個の非ゼロの非対角成分を持ち、かつ \( A \) に相似であるとする。\( J_A \) を \( A \)...