不等式 トレース不等式の大物紹介。行列解析の基礎から応用へ
本記事では、行列のトレースに関連する主要な不等式について解説する。これらの不等式は、線形代数、量子情報理論、作用素解析など多くの分野で中心的な役割を果たす。本稿では、Wikipedia の Trace inequality の内容を基に、主...
行列
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行列解析 [行列解析9.0]主要な記号一覧
行列解析で使用している記号や用語の簡単な説明です。
行列解析 [行列解析9.F]付録：標準対（Canonical Pairs）
標準対（Canonical Pairs）任意の複素正方行列 \( A \) は、一意的に次のように表すことができる。A = S(A) + C(A)ここで、\( S(A) = \frac{1}{2}(A + A^{T}) \) は対称行列であ...
行列解析 [行列解析9.E]付録：連続性・コンパクト性とワイエルシュトラスの定理
連続性・コンパクト性とワイエルシュトラスの定理有限次元の実または複素ベクトル空間 \( V \) にノルム \( \| \cdot \| \) が与えられているとする。点 \( x \in V \) に対して、半径 \( \varepsil...
行列解析 [行列解析9.D]付録：多項式の零点と行列の固有値の連続性
多項式の零点と行列の固有値の連続性多項式の零点がその係数に対して連続的に依存するという事実は重要であり、通常は複素解析を用いて証明される。この性質は、次数 \( n \ge 1 \) の複素係数多項式において、その \( n \) 個の零点...
行列解析 [行列解析9.C]付録：代数学の基本定理（The Fundamental Theorem of Algebra）
代数学の基本定理（The Fundamental Theorem of Algebra）複素数 \( \mathbb{C} \) が導入された歴史的な動機の一つは、実係数多項式が必ずしも実数の零点（根）をもたないことにあった。たとえば、次の...
行列解析 [行列解析9.B]付録：凸集合と凸関数
凸集合と凸関数（Convex Sets and Functions）ベクトル空間 \( V \) が実数を含む体上のベクトル空間であるとする。\( V \) の要素 \( v_1, \ldots, v_k \in V \) に対して、凸結合...
行列解析 [行列解析9.A]付録：複素数の基本的な定義と性質
9.複素数の基本的な定義と性質複素数とは、実数 \( a, b \) と記号 \( i \) を用いて \( z = a + ib \) の形に表される数のことである。ここで \( i \) は形式的な記号であり、\( i^2 = -1 \...
行列解析 [行列解析9]付録
目次付録 A (Appendix A) 複素数 (Complex Numbers)付録 B (Appendix B) 凸集合および関数 (Convex Sets and Functions)付録 C (Appendix C) 代数の基本定理...
8.正および非負行列 [行列解析8.7]注記
注と参考文献 定理 8.7.2 は G. Birkhoff により “Tres observaciones sobre el álgebra lineal”, Univ. Nac. Tucumán Rev. Ser. A 5 (1946) ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P15]バーコフの定理における頂点の上界
(8.7.P15)問題バーコフの定理における頂点の上界 \( n^2 - n + 1 \) を、\( (n^2 - n + 1) - (n - 1) = n^2 - 2n + 2 \) に改良できることを示せ。詳細を以下の手順で説明せよ：(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P14]二重確率行列の置換相似による直和化
(8.7.P14)問題\( A \in M_n \) が二重確率かつ既約でない（reducible）場合、\( A \) は置換相似により、二重確率行列 \( A_1, A_2 \) からなる直和 \( A_1 \oplus A_2 \) ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P13]二重確率行列とユニタリ不変ノルム
(8.7.P13)問題\( | \| \cdot \| | \) をユニタリ不変な行列ノルムとする。このとき、任意の二重確率行列 \( A \in M_n \) に対して \( |\| A \|| \le |\| I \|| \) が成り立...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P12]二重確率行列の半正定値平方根の性質
(8.7.P12)問題\( A \in M_n \) を二重確率・対称・半正定値行列とし、\( A^{1/2} \) をその半正定値平方根とする。 (a) \( A^{1/2} e = e \) であることを示せ。したがって、\( A^{1...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P11]二重確率行列を置換行列で凸結合表現した時の一意性について
(8.7.P11)問題二重確率行列\(A\)の表現式 (8.7.3) が一意でないことを示せ。8.7.3二重確率行列\(A\)に対し、置換行列 \( P_1, P_2, \ldots, P_N \in M_n \) と正の実数 \( t_1...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P10]2×2二重確率行列の構造に関する証明
(8.7.P10)問題2×2 の二重確率行列は対称であり、対角要素が等しいことを示せ。 解答例\( 2 \times 2 \) の行列 \( A \) が二重確率行列であるための条件を考察する。1. 二重確率行列の一般形一般の \( 2 \...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P9]二重確率行列の正の成分数に関する考察
(8.7.P9)問題\( A \in M_n \) を二重確率行列とする。 (a) \( A \) がちょうど \( n + 1 \) 個の正の要素をもつことはできないことを示せ。 (b) \( A \) が置換行列でない場合、\( A \...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P8]二重確率行列と置換行列
(8.7.P8)問題\( n \times n \) の二重確率行列の集合がコンパクトかつ凸であることを踏まえ、ある行列がその集合の極端点であることと、置換行列であることが同値である理由を説明せよ。ヒント(8.7.2)解答例二重確率行列の集...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P7]バーコフ多面体の極端点（頂点）
(8.7.P7)問題任意の置換行列が、二重確率行列の凸集合における極端点（extreme point）であることを示せ。さらに、\( A \) が置換行列である場合に、どのような追加の性質がいえるか述べよ。 ヒント\(A = α_1B + ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P6]二重確率行列と置換不変ノルム
（8.7.P6）問題\( | \| \cdot \| | \) を、\( \mathbb{R}^n \) 上の置換不変ノルム \( \| \cdot \| \) によって誘導される行列ノルムとする。このとき、任意の二重確率行列 \( A \...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P5]二重確率行列の最大特異値とスペクトル半径
(8.7.P5)問題\( A \in M_n \) を二重確率行列とし、その最大特異値を \( \sigma_1(A) \) とする。\( \sigma_1(A) = \rho(A) = 1 \) を、すなわち二重確率行列はスペクトル行列で...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P4]非負行列の最大絶対値固有値の半単純性
(8.7.P4)問題\( A \in M_n \) を非負で零でない行列とし、正の固有ベクトルをもつとする。このとき、\( A \) のすべての最大絶対値の固有値が半単純であることを説明せよ。 解答例1. 問題の前提と背景\( A \in ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P3]非負行列の確率行列への変換
(8.7.P3)問題\( A \in M_n \) を非負で零でない行列とし、正の固有ベクトル \( x = \) をもつとする。\( D = \mathrm{diag}(x_1, \dots, x_n) \) とおく。このとき、\( \r...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P2]確率行列の |λ| = 1 を満たす固有値
(8.7.P2)問題\( A \in M_n \) を確率行列とし、\( |\lambda| = 1 \) を満たす固有値 \( \lambda \) を考える。ただし、\( \lambda = 1 \) はそのような固有値の一つであるが、...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P1]確率行列および二重確率行列の集合が半群を構成する
(8.7.P1)問題\( M_n \) における確率行列および二重確率行列の集合が、それぞれ行列積に関して半群（セミグループ）を構成することを示せ。すなわち、\( A, B \in M_n \) が（それぞれ二重）確率行列であるならば、\(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7]問題集（確率行列と二重確率行列）
8.7.問題集確率行列と二重確率行列に関する問題。8.7.P1 \( M_n \) における確率行列および二重確率行列の集合が、それぞれ行列積に関して半群（セミグループ）を構成することを示せ。すなわち、\( A, B \in M_n \) ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.6]定理：フォン・ノイマンのトレース定理（平方行列の場合）
8.7.6 フォン・ノイマンのトレース定理（平方行列の場合）定理 8.7.6（フォン・ノイマン）\( A, B \in M_n \) の特異値をそれぞれ大きい順に並べて\sigma_1(A) \ge \cdots \ge \sigma_n(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.5]補題：二重劣確率行列と二重確率行列の関係
8.7.5 二重劣確率行列と二重確率行列の関係補題 8.7.5.\( A \in M_n \) が二重劣確率行列であるとする。このとき、ある二重確率行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A \le S \) が成り立つ。証...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.4]系：二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値
8.7.4 二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値系 8.7.4. 二重確率 \( n \times n \) 行列の集合上で定義された実数値関数 \( f \) が凸関数（または凹関数）であるとき、凸関数 \( f \) の最大値...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.2]定理（バーコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現
8.7.2 定理（バーコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現バーコフの定理は、バーコフ-フォンノイマン（Birkhoff–von Neumann）の定理と呼ばれることもあります。定理 8.7.2（バーコフの定理） 行列 \( A \in M...