行列

4.3.9系 4.3.9 \(n ≥ 2\) とし、エルミート行列 \(A \in M_n\) および非ゼロベクトル \(z \in \mathbb{C}^n\) を考える。このとき次が成り立つ。λ_i(A) ≤ λ_i(A + zz^*)...

4.3.7系 4.3.7 エルミート行列 \(A, B \in M_n\) を考える。\(B\) が正の固有値をちょうど1つ、負の固有値をちょうど1つ持つとする。このとき次が成り立つ。λ_1(A + B) ≤ λ_2(A)λ_{i−1}(A...

4.3.5系 4.3.5 エルミート行列 \(A, B \in M_n\) を考える。\(B\) が特異で \(\operatorname{rank} B = r\) のとき、次が成り立つ。λ_i(A + B) ≤ λ_{i+r}(A), ...

4.3.3系 4.3.3 エルミート行列 \(A, B \in M_n\) を考える。\(B\) が正の固有値をちょうど \(\pi\) 個、負の固有値をちょうど \(\nu\) 個持つとする。このとき次が成り立つ。λ_i(A + B) ≤...

4.3.1定理 4.3.1（ワイルの定理） \(A, B ∈ M_n\) をエルミート行列とし、それぞれの固有値を \(A, B, A+B\) について \( \{λ_i(A)\}_{i=1}^n, \{λ_i(B)\}_{i=1}^n, ...

4.2.問題94.2.P9(4.2.10) の別証明を与えなさい。ただし、まず (4.2.7) から (b) を導き、次に \(-A\) に対して (b) を適用して (a) を導く方法によること。

4.2.問題84.2.P8 \( A, B \in M_n \) がエルミート行列であり、\( B \) が半正定値であるとする。また、固有値列 \(\{\lambda_i(A)\}_{i=1}^n\) と \(\{\lambda_i(B)...

4.2.問題74.2.P7ランク・ヌル定理 (0.2.3.1) が部分空間の交わり補題 (0.1.7.1) と (4.2.3) を含意することを示しなさい。

4.2.問題64.2.P6\( A \in M_n \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。ここでは \( A \) がエルミートであるとは仮定しない。次を示しなさい。\min_{x \n...

4.2.問題54.2.P5\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) とする。\( A \) の固有値は何か。また、次を求めよ。\max \left\{ \tfrac{x^T...

4.2.問題44.2.P4 \( A = = \in M_n \) とし、\(\sigma_1\) を \( A \) の最大特異値とする。前問をエルミート行列 \( A^{*} A \) に適用して次を示しなさい。\sigma_1 \ge...

4.2.問題34.2.P3\( A = \in M_n \) がエルミート行列のとき、(4.2.2(c)) を用いて次を示しなさい。\lambda_{\max}(A) \geq a_{ii} \geq \lambda_{\min}(A), ...

4.2.問題24.2.P2 \( A \in M_n \) がエルミート行列で、少なくとも1つの固有値が正であると仮定する。このとき、次を示しなさい。\lambda_{\max}(A) = \max \left\{ \tfrac{1}{x^...

4.2.問題14.2.P1 (4.2.7–8) の主張が次の式と同値であることを説明しなさい。\lambda_k = \min_{\substack{S:\,\dim S = k}} \;\max_{\substack{x \in S \\...

4.2問題集4.2.P1 (4.2.7–8) の主張が次の式と同値であることを説明しなさい。\lambda_k = \min_{\substack{S:\,\dim S = k}} \;\max_{\substack{x \in S \\ ...

4.2.11系 4.2.12. 行列 \( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。もし \( k \) 次元部分空間のすべてのベクトル \( x \) に対して \( x^{*} A x \geq 0 \) が成り立つなら...

4.2.10定理 4.2.10. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を (4.2.1) に従って昇順に並べる。\( S \) を \( \mathbb{C}^n \) の \( k \) 次元部分空間、\( c...

4.2.6定理 4.2.6（クーラント＝フィッシャー）. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を代数的順序で \( \lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n \) とする。\( k...

4.2.5観察 4.2.5. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を (4.2.1) に従って \( \lambda_1(A) \leq \cdots \leq \lambda_n(A) \) と並べる。このとき...

4.2.4補題 4.2.4. 関数 \( f \) を集合 \( S \) 上の有界な実数値関数とする。ここで \( S_1, S_2 \) は集合であり、\( S_1 \) は空でなく、かつ \( S_1 \subset S_2 \sub...

4.2.3補題 4.2.3（部分空間の共通部分）　\( S_1, \ldots, S_k \) を \( \mathbb{C}^n \) の部分空間とする。もし\delta = \dim S_1 + \cdots + \dim S_k - ...

4.2.2定理 4.2.2（レイリー）. \(A \in M_n\) がエルミート行列であり、その固有値が (4.2.1) のように順序付けられているとする。整数 \(i_1, \ldots, i_k\) が \(1 \leq i_1 \l...

4.1.問題304.1.P30 \(A \in M_n\) がエルミートで \(\mathrm{rank}\,A = r > 0\) とする。\(A\) は rank-principal であるため、サイズ \(r\) の非零主小行列式を持...

4.1.問題294.1.P29\(A \in M_n\) がエルミートまたは実対称行列であるとする。\(A\) が不定（indefinite）であることは、少なくとも1つの正の固有値と少なくとも1つの負の固有値を持つことと同値である理由を説...

4.1.問題284.1.P28\(A \in M_n\) が \(B \oplus C\) にユニタリ相似である場合、ここで \(B \in M_k\)、\(C \in M_{n−k}\)、\(1 \le k \le n−1\) とする。こ...

4.1.問題274.1.P27\(A, P \in M_n\) とし、\(P\) が \(0\) でも \(I\) でもないエルミート射影であるとする。このとき、\(A\) が \(P\) と可換であることと、\(A\) があるユニタリ相似...

4.1.問題264.1.P26エルミート行列 \(P \in M_n\) が射影であることと、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在してP = U (I_k \oplus 0_{n-k}) U^{*}, \quad 0 \le...

4.1.問題254.1.P25\(A \in M_n\) をエルミート行列とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。このとき、複合行列 \(C_r(A)\) がエルミートであることを説明せよ。さらに、\(A\) が...