行列解析 [行列解析9.0]主要な記号一覧
主要な記号一覧\( \mathbb{R} \)：実数全体の集合（the real numbers） \( \mathbb{R}^n \)：実数 \( n \) 次元ベクトルの空間、すなわち \( M_{n,1}(\mathbb{R}) \)...
行列
行列解析 行列解析 [行列解析9.A]付録：複素数の基本的な定義と性質
9.複素数の基本的な定義と性質複素数とは、実数 \( a, b \) と記号 \( i \) を用いて \( z = a + ib \) の形に表される数のことである。ここで \( i \) は形式的な記号であり、\( i^2 = -1 \...
行列解析 [行列解析9]付録
目次付録 A (Appendix A) 複素数 (Complex Numbers)付録 B (Appendix B) 凸集合および関数 (Convex Sets and Functions)付録 C (Appendix C) 代数の基本定理...
8.正および非負行列 [行列解析8.7]注記
注と参考文献 定理 8.7.2 は G. Birkhoff により “Tres observaciones sobre el álgebra lineal”, Univ. Nac. Tucumán Rev. Ser. A 5 (1946) ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P15]
8.7.問題158.7.P15 (8.7.2) における上界 \( n^2 - n + 1 \) を、\( (n^2 - n + 1) - (n - 1) = n^2 - 2n + 2 \) に改良できることを示せ。詳細を以下の手順で説明せ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P14]
8.7.問題148.7.P14 \( A \in M_n \) が二重確率かつ既約でない（reducible）場合、\( A \) は置換相似により、二重確率行列 \( A_1, A_2 \) からなる直和 \( A_1 \oplus A_...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P13]
8.7.問題138.7.P13 \( \| \! | \cdot \| \! | \) をユニタリ不変な行列ノルムとする。このとき、任意の二重確率行列 \( A \in M_n \) に対して \( \| \! |A\| \! | \le ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P12]
8.7.問題128.7.P12 \( A \in M_n \) を二重確率・対称・半正定値行列とし、\( A^{1/2} \) をその半正定値平方根とする。 (a) \( A^{1/2} e = e \) であることを示せ。したがって、\(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P11]
8.7.問題118.7.P11 表現式 (8.7.3) が一意でないことを示せ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P10]
8.7.問題108.7.P10 2×2 の二重確率行列は対称であり、対角要素が等しいことを示せ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P9]
8.7.問題98.7.P9 \( A \in M_n \) を二重確率行列とする。 (a) \( A \) がちょうど \( n + 1 \) 個の正の要素をもつことはできないことを示せ。 (b) \( A \) が置換行列でない場合、\(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P8]
8.7.問題88.7.P8 \( n \times n \) の二重確率行列の集合がコンパクトかつ凸であることを踏まえ、ある行列がその集合の極端点であることと、置換行列であることが同値である理由を説明せよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P7]
8.7.問題78.7.P7 任意の置換行列が、二重確率行列の凸集合における極端点（extreme point）であることを示せ。さらに、\( A \) が置換行列である場合に、どのような追加の性質がいえるか述べよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P6]
8.7.問題68.7.P6 \( \| \! | \cdot \| \! | \) を、\( \mathbb{R}^n \) 上の置換不変ノルム \( \| \cdot \| \) によって誘導される行列ノルムとする。このとき、任意の二重確...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P5]
8.7.問題58.7.P5 \( A \in M_n \) を二重確率行列とし、その最大特異値を \( \sigma_1(A) \) とする。\( \sigma_1(A) = \rho(A) = 1 \) を、すなわち二重確率行列はスペクト...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P4]
8.7.問題48.7.P4 \( A \in M_n \) を非負で零でない行列とし、正の固有ベクトルをもつとする。このとき、\( A \) のすべての最大絶対値の固有値が半単純であることを説明せよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P3]
8.7.問題38.7.P3 \( A \in M_n \) を非負で零でない行列とし、正の固有ベクトル \( x = \) をもつとする。\( D = \mathrm{diag}(x_1, \dots, x_n) \) とおく。このとき、\...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P2]
8.7.問題28.7.P2 \( A \in M_n \) を確率行列とし、\( |\lambda| = 1 \) を満たす固有値 \( \lambda \) を考える。ただし、\( \lambda = 1 \) はそのような固有値の一つで...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P1]
8.7.問題18.7.P1 \( M_n \) における確率行列および二重確率行列の集合が、それぞれ行列積に関して半群（セミグループ）を構成することを示せ。すなわち、\( A, B \in M_n \) が（それぞれ二重）確率行列であるなら...
8.正および非負行列 [行列解析8.7]問題集
8.7.問題集8.7.P1 \( M_n \) における確率行列および二重確率行列の集合が、それぞれ行列積に関して半群（セミグループ）を構成することを示せ。すなわち、\( A, B \in M_n \) が（それぞれ二重）確率行列であるなら...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.6]定理：フォン・ノイマンのトレース定理（平方行列の場合）
8.7.6 フォン・ノイマンのトレース定理（平方行列の場合）定理 8.7.6（フォン・ノイマン）\( A, B \in M_n \) の特異値をそれぞれ大きい順に並べて\sigma_1(A) \ge \cdots \ge \sigma_n(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.5]補題：二重劣確率行列と二重確率行列の関係
8.7.5 二重劣確率行列と二重確率行列の関係補題 8.7.5.\( A \in M_n \) が二重劣確率行列であるとする。このとき、ある二重確率行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A \le S \) が成り立つ。証...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.4]系：二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値
8.7.4 二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値系 8.7.4. 二重確率 \( n \times n \) 行列の集合上で定義された実数値関数 \( f \) が凸関数（または凹関数）であるとき、凸関数 \( f \) の最大値...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.2]定理（ビルコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現
8.7.2 定理（ビルコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現定理 8.7.2（ビルコフの定理） 行列 \( A \in M_n \) が二重確率行列であることと、次の条件が成り立つことは同値である。 すなわち、置換行列 \( P_1, P_...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.1]補題：非単位二重確率行列における置換の存在
8.7.1 補題：非単位二重確率行列における置換の存在補題 8.7.1 \( A = \in M_n \) を、単位行列ではない二重確率行列とする。このとき、恒等置換でない置換 \( \sigma \) が存在し、次を満たす： a_{1\s...
8.正および非負行列 [行列解析8.7]確率行列と二重確率行列
目次8.7.1 補題：非単位二重確率行列における置換の存在8.7.2 8.7 ストキャスティック行列(確率行列)と二重ストキャスティック行列非負行列 \( A \in M_n \) が \( Ae = e \) を満たすとき、すなわちその各...
8.正および非負行列 [行列解析8.6.P2]
8.6.問題28.6.P2\( A \in M_n \) が既約かつ非負行列であり、\( n \ge 2 \) とする。さらに、\( A^m = \)（ただし \( m = 1, 2, \ldots \)）と表す。このとき、任意の添字の組 ...
8.正および非負行列 [行列解析8.6.P1]
8.6.問題18.6.P1行列 \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) とする。式 (8.6.5) における行列因子の直和を計算せよ。また、不等式 (8.6.1) におけ...
8.正および非負行列 [行列解析8.6]問題集
8.6.問題集8.6節 練習問題：非負既約行列の極限挙動8.6.P1行列 \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) とする。式 (8.6.5) における行列因子の直和を計算...
8.正および非負行列 [行列解析8.6.1]定理：非負既約行列に対する一般的な極限定理
8.6.1 定理：非負既約行列に対する一般的な極限定理\( A \in M_n \) が既約かつ非負行列であり、\( n \ge 2 \) とする。また、\( x \) および \( y \) をそれぞれ \( A \) の右ペロンベクトル...