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7.7.問題227.7.P22正定値行列 \(A \in M_n\) を \(A = A_1 + i A_2\) と表す。ただし \(A_1, A_2\) は実行列である。\(A_1\) は実対称かつ正定値であり、\(A_2\) は実の斜対...

7.7.問題217.7.P21正定値行列 \(A \in M_n\) および半正定値行列 \(B \in M_n\) とする。 (a) 正のスカラー \(c\) が存在して \(cA \succeq B\) となることを示せ。 (b) 最小...

7.7.問題207.7.P20(a) なぜ (7.7.7(e)), (7.7.9(b)), (7.7.11(d)) の収縮行列 \(X\) が \(X = (A^\dagger)^{1/2} B (C^\dagger)^{1/2}\)（ムー...

7.7.問題197.7.P19単位円上で複素解析関数 \(f\) があり、\(f(0) = 0\) および \(f'(0) = 1\) と正規化されているとする。Grunsky 不等式 (4.4.1) を考える。次が成り立つ理由を説明せよ。...

7.7.問題187.7.P18\(A = \in M_n\) は半正定値、\(B = \in M_n\) は対称行列であり、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^T B x|\) ...

7.7.問題177.7.P17\(A, B, C, D \in M_n\) とする。A と C は半正定値、B と D は対称行列である。任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^T ...

7.7.問題167.7.P16\(A \in M_n\) が半正定値、\(B \in M_n\) が対称行列のとき、次の条件が同値であることを示せ。 (a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x...

7.7.問題157.7.P15\(A = \in M_n\) は半正定値、\(B = \in M_n\) はエルミート行列であり、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^* B x|...

7.7.問題147.7.P14正定値行列 \(A, B \in M_n\) および \(\alpha \in (0,1)\) とする。 (a) 次を示せ。 \(\alpha A^{-1} + (1-\alpha) B^{-1} \succe...

7.7.問題137.7.P13\(A, B \in M_n\) がエルミート行列、\(\alpha \in (0,1)\) とする。\(\alpha A^2 + (1-\alpha) B^2 \succeq (\alpha A + (1-\...

7.7.問題127.7.P12\(A, B \in M_n\) とし、 Z = \begin{pmatrix} I & A \\ B^* & I \end{pmatrix}とする。 ZZ^* = \begin{pmatrix} I + AA...

7.7.問題117.7.P11 H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix}が半正定値であり、\(A, C \in M_p\) のとき、\((\det A)(\det C) \ge |...

7.7.問題107.7.P10\(A \in M_n\) が正定値、\(x, y \in \mathbb{C}^n\) のとき、\((x^* A x)(y^* A^{-1} y) \ge |x^* y|^2\) を示せ。

7.7.問題97.7.P9 H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix} \succeq 0とする。\(\min\{\mathrm{rank}\, A, \mathrm{rank}\,...

7.7.問題87.7.P8 H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix} \in M_nが正定値であり、\(A \in M_k\)、\(\alpha = \{1, \dots, k\}...

7.7.問題77.7.P7\(A \in M_n\)、\(y \in \mathbb{C}^n\) が非ゼロであるとする。\(Ax = y\) となる \(x \in \mathbb{C}^n\) が存在し、かつ \(\|x\|_2 \su...

7.7.問題67.7.P6\(A, B \in M_n\) が半正定値であるとする。\(A \succeq B\) のとき、\(\mathrm{range}\, B \subseteq \mathrm{range}\, A\) を示せ。

7.7.問題57.7.P5\(A, B \in M_n\) がエルミート行列であり、\(\alpha \subset \{1, \dots, n\}\) の場合、\(A \succeq B\) ならば \(A \succeq B\) を示せ...

7.7.問題47.7.P4\(A, B, C, D \in M_n\) がエルミート行列であるとする。\(A \succeq B \succeq 0\) および \(C \succeq D \succeq 0\) のとき、\(A \circ...

7.7.問題37.7.P3(7.7.4(b)) の主張は改善できる。(7.7.4(b))\(A \succeq 0\)、\(B \succeq 0\)、かつ \(A \succeq B\) のとき、\(A^{1/2} \succeq B^{...

7.7.問題27.7.P2\(A_1, A_2, B_1, B_2 \in M_n\) がエルミート行列であるとする。もし \(A_1 \succeq B_1\) および \(A_2 \succeq B_2\) ならば、\(A_1 + A_...

7.7.問題17.7.P1次の行列を考えて、\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix} (7.7.4(c)) ...

7.7.問題集7.7.P1 次の行列を考える。 \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} と\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix} そして、(7.7....