0.行列基礎 [行列解析0.2.7]行列の列空間と行空間
0.2.7 行列の列空間と行空間行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) の像（range）は、その列空間（column space）とも呼ばれます。なぜなら、任意の \( x \in F^n \) に対して \( Ax \) は...
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0.行列基礎 
0.行列基礎 [行列解析0.2.6]行列積のメタ力学的見方
0.2.6 行列積のメタ力学的見方（Metamechanics）行列とベクトルの積、および行列どうしの積には通常の定義のほかにも、いくつかの有用な視点があります。行列 \( A \in M_{m,n}(F) \)、列ベクトル \( x \i...
0.行列基礎 [行列解析0.2.5]転置、共役転置、トレース
0.2.5 転置、共役転置、トレース行列 \( A = \in M_{m,n}(F) \) に対して、転置行列 \( A^T \) は \( M_{n,m}(F) \) に属する行列であり、その \( i, j \) 成分は \( a_{j...
0.行列基礎 [行列解析0.2.4]行列の演算
0.2.4 行列の演算行列の加法は、同じ次元の行列に対して成分ごとに定義され、「\( A + B \)」と書かれます。これは線形変換の加法に対応し、体の加法の可換性・結合性を受け継ぎます。全ての成分がゼロの行列（ゼロ行列）は加法単位元であり...
0.行列基礎 [行列解析0.2.3]行列または線形変換に関連づけられるベクトル空間
0.2.3 行列または線形変換に関連づけられるベクトル空間任意の \( n \) 次元ベクトル空間は \( \mathbb{F}^n \) と同型であるため、行列 \( A \in M_{m,n}(\mathbb{F}) \) は線形変換：...
0.行列基礎 [行列解析0.2.2]線形変換
0.2.2 線形変換体 \( \mathbb{F} \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間 \( U \) と \( m \) 次元ベクトル空間 \( V \) を考え、基底 \( B_U \) および \( B_V \) をそれぞれ...
0.行列基礎 [行列解析0.2.1]長方形行列
0.2.1 長方形行列行列とは、体 \( \mathbb{F} \) 上のスカラーによる m 行 n 列 の配列です。特に \( m = n \) の場合、その行列は正方行列と呼ばれます。体 \( \mathbb{F} \) 上の全ての m...
0.行列基礎 [行列解析0.2]行列
0.2 行列（Matrices）ここで扱う基本的な対象は、以下の2つの重要な観点から捉えることができます。1つはスカラーの長方形配列として、もう1つは、各ベクトル空間に基底が指定されたうえでの線形変換としてです。0.2.1 長方形配列0.2...
0.行列基礎 [行列解析0.1.8]同型写像
0.1.8 同型写像（Isomorphism）\( U \) および \( V \) が同じスカラー体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間であり、関数 \( f : U \to V \) が次の性質を持つとします：\( f ...
0.行列基礎 [行列解析0.1.7]次元
0.1.7 次元ある正の整数 \( n \) が存在して、ベクトル空間 \( V \) のすべての基底がちょうど \( n \) 個の要素からなるとき、その \( n \) を \( V \) の次元（dimension）と呼び、記号 \(...
0.行列基礎 [行列解析0.1.6]基底への拡張
0.1.6 基底への拡張任意の線形独立なベクトル列は、何らかの方法（複数の場合もある）で \( V \) の基底に拡張できます。ベクトル空間の基底は有限とは限りません。たとえば、無限列 \( 1, t, t^2, t^3, \ldots \...
行列 [行列解析0.1.5]基底
0.1.5 基底ベクトル空間 \( V \) における線形独立なベクトル列で、そのスパンが \( V \) 全体になるものを、\( V \) の基底（basis）と呼びます。すなわち、すべてのベクトルは、基底の要素の一次結合として一意に表さ...
0.行列基礎 [行列解析0.1.4]線形従属と線形独立
0.1.4 線形従属と線形独立ベクトル空間 \( V \) 上の有限個のベクトル \( v_1, \ldots, v_k \) の列が 線形従属であるとは、すべてが 0 ではないスカラー \( a_1, \ldots, a_k \in \m...
0.行列基礎 [行列解析0.1.3]部分空間、スパン、線形結合
0.1.3 部分空間、スパン、線形結合体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間 \( V \) に対して、\( V \) の部分集合であって、\( V \) と同じベクトル加法およびスカラー倍により再び \( \mathbb{...
0.行列基礎 [行列解析0.1.2]ベクトル空間
0.1.2 ベクトル空間体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間 \( V \) は、以下の性質を持つ集合です：「加法」という二項演算の下で閉じており、加法は結合的・可換的です。加法における単位元（ゼロベクトル、記号 \( 0...
0.行列基礎 [行列解析0.1.1]スカラー体
0.1.1 スカラー体ベクトル空間の背後には、その体（スカラーの集合）があります。ここで扱う体は、通常は実数体 \( \mathbb{R} \) または複素数体 \( \mathbb{C} \)（付録Aを参照）ですが、有理数体、素数を法とす...
0.行列基礎 [行列解析0.1]ベクトル空間
0.1 ベクトル空間有限次元ベクトル空間は、行列解析の基本的な枠組みです。0.1.1 スカラー体0.1.2 ベクトル空間0.1.3 部分空間、スパン、線形結合0.1.4 線形従属と線形独立0.1.5 基底0.1.6 基底への拡張0.1.7 ...
0.行列基礎 [行列解析0.0]はじめに
0.1 はじめにこの最初の章では、本書の残りの部分の基礎となる多くの有用な概念と事実を要約します。これらの内容の一部は、典型的な線形代数の初等コースで扱われる内容ですが、本書では、後続の説明には登場しない追加の有用な項目についても取り上げま...
0.行列基礎 [行列解析0]復習と雑学
0.復習と雑学この最初の章では、本書の残りの部分の基礎となる、多くの有用な概念と事実をまとめています。この内容の一部は、線形代数の一般的な初級コースに含まれていますが、以降の説明では取り上げない追加の有用な項目も含まれています。読者は、第 ...
行列解析 [行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
行列 メモ：セミョーン・アラーノヴィチ・ゲルシュゴリン
Semyon Aranovich Gershgorinセミョーン・アラーノヴィチ・ゲルシュゴリン(Шимон Аронович Герцензон)生誕：1901年8月24日 ロシア帝国プルジャニ（現ベラルーシ） 死去： 1933年5月30...
行列 線形代数の基礎：基底変換と固有値の理解
1.0 はじめに1.0.1 基底の変換と相似すべての可逆行列は基底変換行列であり、またすべての基底変換行列は可逆です。したがって、あるベクトル空間 \( V \) の基底 \( B \) と、\( V \) 上の線形変換 \( T \) が...
行列 2行2列行列の固有値と固有ベクトルの公式
下記の2行2列の行列について、固有値と固有ベクトルを求めた結果をまとめておきます。\(\displaystyle \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}\)ここで\(a,b,c,d\)は実数または複素数で...
行列 ブロック行列の状態で逆行列を計算する（証明あり）
行列を解析するときに、めちゃくちゃ必要になる知識がブロック行列の計算です。行列を、列ベクトルが並んだもの、行ベクトルが並んだものとみなすのはもちろん、１列目や１行目を特別視する時にはブロック行列で考えていることになっているからです。また行列...
不等式 本当は難しくないムーアヘッドの不等式
ムーアヘッド(Muirhead)の不等式は、調和のとれた不等式で、ある意味相加相乗平均の不等式の一般化といえる不等式です。ムーアヘッドの不等式の具体例ムーアヘッドの不等式がどういうものかは、具体例を見た方が実にわかりやすいです。一般形をみる...
拡張不等式 完全拡張不等式
一般的に拡張不等式は、完全ではありません。すなわち、複素数α、β、θ（θ≠0）に対して、\(α <_θ β\)\(α = β\)\(α >_θ β\)のいずれの関係も満たさない場合（すなわち比較不可能な場合）があります。完全拡張不等式複素数...
拡張不等式 拡張不等式の定義とその性質
一般に不等式は実数の大小を記述するものであり、複素数に対して不等式が適用されることはほとんどありません。しかし、拡複素数でも使用できる不等式があります。それは複素素数でも使用できるように不等式の仕様を拡張した不等式のことで拡張不等式と呼ばれ...
不等式 am-gm不等式の初等的な証明
AM-GM不等式の証明は山のようにありますが、ここでは内田康晴さんが２００８年に論文で発表した証明方法を簡単に紹介します。２００８年に論文で発表された証明方法2変数ならともかく、\(n\)変数のAM-GM不等式の証明は意外に手こずります。そ...
不等式 AM-GM不等式と同等の不等式
AM-GM不等式(相加平均と相乗平均に関する不等式)の一般系は次の形で表されます。\(n個の実数、a_1,a_2,\cdots,a_n>0\)について、\(\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}...
不等式 AM-GM不等式
最も美しい不等式といえば、AM-GM不等式でしょう。\(a,b>0\)とすると\\(a_1,a_2,\cdots,a_n>0\)とすると\{a_1 a_2 \cdots a_n}≦\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\]...